Bài 54 (trang 80 SGK Toán 7 tập 2): Vẽ đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau:

Giải bài 54 trang 80 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

Lời giải:

Giải bài 54 trang 80 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Để vẽ đường tròn ta cần:

+ Vẽ đường trung trực y của cạnh BC.

+ Vẽ dường trung trực x của cạnh AB.

+ x cắt y tại I là tâm của đường tròn cần vẽ.

+ Vẽ đường tròn tâm I bán kính IA.

Nhận xét:

– Tam giác nhọn có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trong tam giác.

– Tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền (chứng minh bài 56).

– Tam giác tù có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ngoài tam giác.

Kiến thức áp dụng

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Bài 55 (trang 80 SGK Toán 7 tập 2): Cho hình 51: Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Giải bài 55 trang 80 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

Hình 51

Từ hình vẽ ta có:

+ DK là đường trung trực của AC ⇒ DA = DC.

+ DI là đường trung trực của AB ⇒ DA = DB.

+ Ta có : DI // AC (vì cùng ⏊ AB)

Mà DK ⏊ AC ⇒ DK ⏊ DI Giải bài 55 trang 80 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

+ Xét ∆ADK và ∆CDK có:

AD = DC

AK = CK (gt)

DK chung

⇒ ∆ADK = ∆CDK (c.c.c)

Giải bài 55 trang 80 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

+ Xét ∆ADI và ∆BDI có :

AD = BD

AI = BI (gt)

DI chung

⇒ ∆ADI = ∆BDI (c.c.c)

Giải bài 55 trang 80 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

Từ (1) và (2) suy ra

Giải bài 55 trang 80 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

Vậy B, D, C thẳng hàng.

Kiến thức áp dụng

+ Điểm thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

+ Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì sẽ vuông góc với đường thẳng còn lại.

+ Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh góc tạo bởi ba điểm đó bằng 1800.

Bài 56 (trang 80 SGK Toán 7 tập 2): Sử dụng bài 55 để chứng minh rằng: Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó.

Từ đó hãy tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông theo độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông.

Lời giải:

Giải bài 56 trang 80 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7+ Giả sử ∆ABC vuông góc tại A.

d1 là đường trung trực cạnh AB, d2 là đường trung trực cạnh AC.

d1 cắt d2 tại M. Khi đó M là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

+ Áp dụng kết quả bài 55 ta có B, M, C thẳng hàng.

+ M cách đều A, B, C ⇒ MB = MC ⇒ M là trung điểm của cạnh BC (đpcm)

+ M là trung điểm của BC ⇒ MA đồng thời là trung tuyến của tam giác ABC.

mà MA = MB = MC = (MB + MC)/2 = BC/2.

Vậy độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng một nửa độ dài cạnh huyền.

Kiến thức áp dụng

Dựa vào định lí : Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Bài 57 (trang 80 SGK Toán 7 tập 2): Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này?

Giải bài 57 trang 80 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7

Lời giải:

Để xác định được bán kính ta cần xác định được tâm của đường tròn chứa chi tiết máy này. Ta xác định tâm như sau:

+ Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài chi tiết máy.

+ Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC. Hai đường trung trực này cắt nhau tại D. Khi đó D là tâm cần xác định.

+ Bán kính đường tròn cần tìm là độ dài đoạn DB (hoặc DA hoặc DC).

Ta có hình vẽ minh họa

Giải bài 57 trang 80 SGK Toán 7 Tập 2 | Giải toán lớp 7