Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại

Bài 20 (trang 64 SGK Toán 7 tập 2): Một cách chứng minh khác của bất đẳng thức tam giác:

Cho tam giác ABC. Giả sử BC là cạnh lớn nhất. Kẻ đường vuông góc AH đến đường thẳng BC (H thuộc BC).

a) Dùng nhận xét về cạnh lớn nhất trong tam giác vuông ở Bài 1 để chứng minh AB + AC > BC.

b) Từ giả thiết về cạnh BC, hãy suy ra hai bất đẳng thức tam giác còn lại.

Lời giải:

a) Ta chứng minh H nằm giữa B và C.

Thật vậy: giả sử H nằm ngoài cạnh BC.

Giả sử B nằm giữa H và C

Xét tam giác ABC có cạnh AC đối diện với góc B ⇒ cạnh AC lớn nhất (cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất). Điều này trái với giả thiết BC lớn nhất.

Tương tự giả sử C nằm giữa B và H cũng trái với giả thiết BC là cạnh lớn nhất.

Vậy H phải nằm giữa B và C.

⇒ HB + HC = BC.

– Xét ∆AHC vuông tại H có AC là cạnh đối diện với góc H

⇒ cạnh AC là cạnh lớn nhất (cạnh đối diện với góc vuông hoặc góc tù trong tam giác là cạnh lớn nhất) ⇒ AC > HC (1)

Chứng minh tương tự ta có AB > BH (2)

Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta có

HB + HC < AC + AB

hay BC < AC + AB (vì HB + HC = BC)

b) BC là cạnh lớn nhất nên suy ra AB < BC và AC < BC

⇒ AB < BC + AC ; AC < BC + AB.

Bài 21 (trang 64 SGK Toán 7 tập 2): Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa điểm A và B (h.19).

Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để dụng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất.

Lời giải:

Ta có: AC + BC ≥ AB (vì C là điểm chưa xác định)

Do đó: AC + BC ngắn nhất khi AC + BC = AB

⇒ A, B, C thẳng hàng và C nằm giữa A; B.

Vậy vị trí dặt một cột mắc dây điện từ trạm về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn ngắn nhất là C nằm giữa A và B (và A, B, C thẳng hàng)

Kiến thức áp dụng