Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 5 trang 14: Tính (a + b)(a² – ab + b²) (với a, b là hai số tùy ý).

Lời giải

(a + b)(a² – ab + b² ) = a(a² – ab + b² ) + b(a² – ab + b² )

= a³ – a²b + ab² + ba² – ab² + b³

= a³ + b³

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 5 trang 15: Phát biểu hằng đẳng thức (6) bằng lời.

Lời giải

Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 5 trang 15: Tính (a – b)(a² + ab + b² ) (với a, b là hai số tùy ý).

Lời giải

(a – b)(a² + ab + b² ) = a(a² + ab + b² ) – b(a² + ab + b² )

= a³ + a² b + ab² – ba² – ab² – b³

= a³ – b³

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 5 trang 15: Phát biểu hằng đẳng thức (7) bằng lời.

Lời giải

Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó

Bài 30 (trang 16 SGK Toán 8 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x + 3)(x² – 3x + 9) – (54 + x³)

b) (2x + y)(4x² – 2xy + y²) – (2x – y)(4x² + 2xy + y²)

Lời giải:

a) (x + 3)(x² – 3x + 9) – (54 + x³)

= ( x + 3)(x² – 3.x + 3²) – (54 + x³)

= x³ + 3³ – (54 + x³)

= x³ + 27 – 54 – x³

= -27

b) (2x + y)(4x² – 2xy + y²) – (2x – y)(4x² + 2xy + y²)

= (2x + y)[(2x)² – 2x.y + y²] – (2x – y)[(2x)² + 2x.y + y²]

= [(2x)³ + y³] – [(2x)³ – y³]

= (2x)³ + y³ – (2x)³ + y³

= 2y³

Bài 31 (trang 16 SGK Toán 8 Tập 1): Chứng minh rằng:

a) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

b) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

Áp dụng: Tính a³ + b³, biết a.b = 6 và a + b = -5

Lời giải:

a) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

Biến đổi vế phải:

(a + b)³ – 3ab(a + b)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – 3a²b – 3ab²

= a³ + b³

Vậy a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

b) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

Biến đổi vế phải:

(a – b)³ + 3ab(a – b)

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³ + 3a²b – 3ab²

= a³ – b³

Vậy a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

– Áp dụng: Với ab = 6, a + b = – 5, ta được:

a³ + b³ = a³ + b³ – 3ab(a + b)

= (-5)³ – 3.6.(-5) = -5³ + 3.6.5

= -125 + 90 = -35

Bài 32 (trang 16 SGK Toán 8 Tập 1): Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống:

Lời giải:

a) Ta có: 27x³ + y³ = (3x)³ + y³ = (3x + y)[(3x)² – 3x.y + y²] = (3x + y)(9x² – 3xy + y²)

b) Ta có: 8x³ – 125 = (2x)³ – 5³ = (2x – 5)[(2x)² + 2x.5 + 5²] = (2x – 5)(4x² + 10x + 25)

Bài 33 (trang 16 SGK Toán 8 Tập 1): Tính

a) (2 + xy)²

b) (5 – 3x)²

c) (5 – x²)(5 + x²)

d) (5x – 1)³

e) (2x – y)(4x² + 2xy + y²)

f) (x + 3)(x² – 3x + 9)

Lời giải:

a) (2 + xy)² = 2² + 2.2.xy + (xy)² = 4 + 4xy + x²y²

b) (5 – 3x)² = 5² – 2.5.3x + (3x)² = 25 – 30x + 9x²

c) (5 – x²)(5 + x²) = 5² – (x²)² = 25 – x⁴

d) (5x – 1)³ = (5x)³ – 3.(5x)².1 + 3.5x.1² – 1³ = 125x³ – 75x² + 15x – 1

e) (2x – y)(4x² + 2xy + y²) = (2x – y)[(2x)² + 2x.y + y²] = (2x)³ – y³ = 8x³ – y³

f) (x + 3)(x² – 3x + 9) = (x + 3)(x² – 3x + 3²) = x³ + 3³ = x³ + 27

Bài 34 (trang 17 SGK Toán 8 Tập 1): Rút gọn các biểu thức sau:

a) (a + b)² – (a – b)²

b) (a + b)³ – (a – b)³ – 2b³

c) (x + y + z)² – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)²

Lời giải:

a) (a + b)² – (a – b)² = (a² + 2ab + b²) – (a² – 2ab + b²)

= a² + 2ab + b² – a² + 2ab – b² = 4ab

Hoặc (a + b)² – (a – b)² = [(a + b) + (a – b)][(a + b) – (a – b)]

= (a + b + a – b)(a + b – a + b) = 2a.2b = 4ab

b) (a + b)³ – (a – b)³ – 2b³ = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³) – 2b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³ – 2b³ = 6a²b

Hoặc (a + b)³ – (a – b)³ – 2b³ = [(a + b)³ – (a – b)³] – 2b³

= [(a + b) – (a – b)][(a + b)² + (a + b)(a – b) + (a – b)²] – 2b³

= (a + b – a + b)(a² + 2ab + b² + a² – b² + a² – 2ab + b²) – 2b³

= 2b.(3a² + b²) – 2b³ = 6a²b + 2b³ – 2b³ = 6a²b

c) – Cách 1: Phá ngoặc

(x + y + z)² – 2(x + y +z)(x + y) + (x + y)²

= x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2yz + 2xz – 2(x² + xy + yx + y² + zx + zy) + x² + 2xy + y²

= 2x² + 2y² + z² + 4xy + 2yz + 2xz – 2x² – 4xy – 2y² – 2xz – 2yz = z²

– Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức

(x + y + z)² – 2(x + y +z)(x + y) + (x + y)²

= [(x + y + z) – (x + y)]² = (x – x + y – y + z)²= z².

Chú ý: Ta sử dụng hằng đẳng thức a² – 2ab + b²= [(a – b)]² với a = x + y + z và b = x + y.

ài 35 (trang 17 SGK Toán 8 Tập 1): Tính nhanh:

a) 34² + 66² + 68.66

b) 74² + 24² – 48.74

Lời giải:

a) 34² + 66² + 68.66 = 34² + 2.34.66 + 66² = (34 + 66)² = 100² = 10000

b) 74² + 24² – 48.74 = 74² – 2.74.24 + 24² = (74 – 24)² = 50² = 2500

Bài 36 (trang 17 SGK Toán 8 Tập 1): Tính giá trị của biểu thức:

a) x² + 4x + 4 tại x = 98.

b) x³ + 3x² + 3x + 1 tại x = 99

Lời giải:

a) x² + 4x + 4 = x² + 2.x.2 + 2² = (x + 2)²

Với x = 98 thì (98 + 2)² = 100² = 10000

b) x³ + 3x² + 3x + 1 = x³ + 3.x².1 + 3.x.1² + 1³ = (x + 1)³

Với x = 99 thì (99 + 1)³ = 100³ = 1000000

Bài 37 (trang 17 SGK Toán 8 Tập 1): Dùng bút chì nối các biểu thức sao cho chúng tạo thành hai vế của một hằng đẳng thức (theo mẫu):

Lời giải:

Kết quả: