Để xem lời giải chi tiết SGK lớp 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 vui lòng truy cập website : edusmart.vn

Bài 1 (trang 106 SGK Đại Số 10): Sử dụng bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau

a) x là số dương.

b) y là số không âm.

c) Với mọi số thực α, |α| là số không âm.

d) Trung bình cộng của hai số dương a và b không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng.

Lời giải

a) x > 0

b) y ≥ 0

c) ∀α ∈ R, |α| ≥ 0

d) ∀a, b > 0, 

Bài 2 (trang 106 SGK Đại Số 10): Có thể rút ra kết luận gì về dấu của hai số a và b nếu biết

a) ab > 0;      b) ;

c) ab < 0;      d) ?

Lời giải

a) Hai số a và b cùng dấu.

b) Hai số a và b cùng dấu.

c) Hai số a và b trái dấu nhau.

d) Hai số a và b trái dấu nhau.

Bài 3 (trang 106 SGK Đại Số 10): Trong các suy luận sau, suy luận nào đúng?

Lời giải

Suy luận (A) sai vì giả sử x = y = –2 thì x.y = 4 > 1.

Suy luận (B) sai vì giả sử x = –6, y = –3 thì (x/y) = 2 > 1.

Suy luận (C) đúng.

Suy luận (D) sai vì giả sử x = 0, y = -5 => x – y = 5 > 1.

Bài 4 (trang 106 SGK Đại Số 10): Khi cân một vật với độ chính xác đến 0,05kg, người ta cho biết kết quả là 26,4kg. Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào?

Lời giải

Khối lượng thực của vật nằm trong khoảng:

(26,4 – 0,05; 26,4 – 0,05) kg

hay (26,35; 26,35) kg

Bài 5 (trang 106 SGK Đại Số 10): Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) = x + 1 và y = g(x) = 3 – x và chỉ ra các giá trị nào của x thỏa mãn:

a) f(x) = g(x);

b) f(x) > g(x);

c) f(x) < g(x).

Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trình, bất phương trình.

Lời giải

Vẽ đồ thị:

– Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x + 1 qua hai điểm (0; 1) và (1; 2).

– Vẽ đồ thị hàm số y = g(x) = 3 – x qua hai điểm (0; 3) và (3; 0)

a) Đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại điểm A(1; 2), hay tại x = 1 thì f(x) = g(x) = 2

Kiểm tra bằng tính toán:

f(x) = g(x) ⇔ x + 1 = 3 – x ⇔ x = 1

b) Khi x > 1 thì đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên đồ thị hàm số y = g(x), hay với x > 1 thì f(x) > g(x).

Kiểm tra bằng tính toán:

f(x) > g(x) ⇔ x + 1 > 3 – x ⇔ x > 1

c) Khi x < 1 thì đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dưới đồ thị hàm số y = g(x), hay với x < 1 thì f(x) < g(x).

Kiểm tra bằng tính toán:

f(x) < g(x) ⇔ x + 1 < 3 – x ⇔ x < 1

Bài 5 (trang 106 SGK Đại Số 10): Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) = x + 1 và y = g(x) = 3 – x và chỉ ra các giá trị nào của x thỏa mãn:

a) f(x) = g(x);

b) f(x) > g(x);

c) f(x) < g(x).

Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trình, bất phương trình.

Lời giải

Vẽ đồ thị:

– Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = x + 1 qua hai điểm (0; 1) và (1; 2).

– Vẽ đồ thị hàm số y = g(x) = 3 – x qua hai điểm (0; 3) và (3; 0)

a) Đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại điểm A(1; 2), hay tại x = 1 thì f(x) = g(x) = 2

Kiểm tra bằng tính toán:

f(x) = g(x) ⇔ x + 1 = 3 – x ⇔ x = 1

b) Khi x > 1 thì đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên đồ thị hàm số y = g(x), hay với x > 1 thì f(x) > g(x).

Kiểm tra bằng tính toán:

f(x) > g(x) ⇔ x + 1 > 3 – x ⇔ x > 1

c) Khi x < 1 thì đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dưới đồ thị hàm số y = g(x), hay với x < 1 thì f(x) < g(x).

Kiểm tra bằng tính toán:

f(x) < g(x) ⇔ x + 1 < 3 – x ⇔ x < 1

Bài 6 (trang 106 SGK Đại Số 10): Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng

Lời giải

Ta có:

Vì a > 0, b > 0, c > 0 nên áp dụng Bất đẳng thức Cô-si ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Do vậy:  (đpcm)

Bài 7 (trang 107 SGK Đại Số 10): Điều kiện của một bất phương trình là gì? Thế nào là hai bất phương trình tương đương.

Lời giải

– Điều kiện của một bất phương trình là các điều kiện của ẩn x sao cho các biểu thức của bất phương trình đó đều có nghĩa.

– Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Bài 8 (trang 107 SGK Đại Số 10): Nếu quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c.

Lời giải

– Vẽ đường thẳng (d): ax + by = c.

– Chọn điểm M(x_o, y_o) (thường chọn điểm (0; 0)) và tính giá trị ax_o + by_o.

– So sánh ax_o + by_o với c:

+ Nếu ax_o + by_o < c thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ (d) chứa M.

+ Nếu ax_o + by_o = c thì miền nghiệm là đường thẳng (d).

+ Nếu ax_o + by_o > c thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ (d) không chứa M.

Bài 9 (trang 107 SGK Đại Số 10): Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải

Định lí (trang 101 sgk Đại Số 10):

Cho tam thức f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

– Nếu Δ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x.

– Nếu Δ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi .

– Nếu Δ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x₁ hoặc x > x₂ và f(x) trái dấu với hệ số a khi x₁ < x < x₂ (trong đó x₁, x₂ (x₁ < x₂) là hai nghiệm của f(x)).

Bài 9 (trang 107 SGK Đại Số 10): Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải

Định lí (trang 101 sgk Đại Số 10):

Cho tam thức f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

– Nếu Δ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x.

– Nếu Δ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi .

– Nếu Δ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x₁ hoặc x > x₂ và f(x) trái dấu với hệ số a khi x₁ < x < x₂ (trong đó x₁, x₂ (x₁ < x₂) là hai nghiệm của f(x)).

Bài 10 (trang 107 SGK Đại Số 10): Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng

Lời giải

Ta có:

⇔ a√a + b√b ≥ √a√b(√a + √b)

⇔ (√a + √b)(a + b – √a√b) ≥ √a√b(√a + √b)

⇔ a + b – √a√b ≥ √a√b

⇔ (√a)² + (√b)² – 2√a√b ≥ 0

⇔ (√a – √b)² ≥ 0 đúng với mọi a > 0, b > 0

Do đó:  (đpcm)

Bài 11 (trang 107 SGK Đại Số 10): a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức a² – b² = (a – b)(a + b) hãy xét dấu f(x) = x⁴ – x² + 6x – 9 và 

b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau:

x(x³ – x + 6) > 9

Lời giải

(Lưu ý: phần bài làm hơi tắt một chút, các bạn có thể tự mình lập bảng xét dấu cho đầy đủ và rõ ràng hơn.)

a) Ta có: f(x) = x⁴ – x² + 6x – 9

= x⁴ – (x – 3)² = (x² + x – 3)(x² – x + 3)

Do (x² – x + 3) =  > 0 nên f(x) cùng dấu với (x² + x – 3).

Tam thức x² + x – 3 có hai nghiệm là  và 

Vậy f(x) < 0 khi x ∈ (; )

f(x) > 0 khi x ∈ (-∞; ) ∪ (; +∞)

Vì x² – 2x + 2 = (x – 1)² + 1 > 0 nên g(x) cùng dấu với 

Tam thức x² – 2x – 2 có hai nghiệm là x₁ = 1 – √3; x₂ = 1 + √3.

Tam thức x² – 2x có hai nghiệm là x₁ = 0; x₂ = 2

Vậy g(x) < 0 khi x ∈ (1 – √3; 0) ∪ (2; 1 + √3)

g(x) > 0 khi x ∈ (-∞; 1 – √3) ∪ (0; 2) ∪ (1 + √3; +∞)

b) Ta có: x(x³ – x + 6) > 9 ⇔ x⁴ – x² + 6x – 9 > 0

⇔ x⁴ – (x – 3)² > 0 ⇔ (x² – x + 3)(x² – x – 3) > 0 (*)

Do x² – x + 3 = x² – 2.x.1/2 + 1/4 + 11/4 = (x – 1/2)² + 11/4 > 0 nên (*) tương đương với:

x² – x – 3 > 0

⇔ x <  hoặc x >  (kết quả phần a)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: T = (-∞; ) ∪ (; +∞)

Bài 12 (trang 107 SGK Đại Số 10): Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai, chứng mình rằng:

b²x² – (b² + c² – a²)x + c² > 0 ∀x

Lời giải

Đặt f(x) = b²x² – (b² + c² – a²)x + c² ta có:

Δ = (b² + c² – a²)² – 4b²c²

= (b² + c² – a² – 2bc)(b² + c² – a² + 2bc)

= [(b – c)² – a²][(b + c)² – a²]

= [b – (c + a)][b – c + a](b + c + a)(b + c – a)

Do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên b < c + a; c < a + b; a < b + c

⇒ b – (c + a) < 0; b – c + a > 0; b + c + a > 0; b + c – a > 0

⇒ Δ < 0 ⇒ f(x) cùng dấu với b² ∀x hay f(x) > 0 ∀x (đpcm).

Bài 13 (trang 107 SGK Đại Số 10): Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Lời giải

Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các đường thẳng:

(Δ): 3x + y = 9 ⇔ y = -3x + 9 đi qua điểm (3; 0); (0; 9)

(Δ₁): x – y + 3 = 0 ⇔ y = x + 3 đi qua điểm (-3; 0); (0; 3)

(Δ₂): x + 2y = 8 ⇔ y = -x/2 + 4 đi qua điểm (8; 0); (0; 4)

(Δ₃): y = 6 đi qua điểm (0; 6) song song với Ox

Bài 14 (trang 107 SGK Đại Số 10): Số -2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình

(A) 2x + 1 > 1 – x;      (B) (2x + 1)(1 – x) < x²

(C) ;      (D) (2 – x)(x + 2)² < 0

Lời giải

Chọn câu B.

Với x = -2 thì 2x + 1 = -3 và 1 – x = 3 nên (2x + 1) (1 -x) = -9 còn x² = (-2)² = 4.

Vậy (2x + 1)(1 – x) < x²

Bài 15 (trang 108 SGK Đại Số 10): Bất phương trình (x + 1)√x ≤ 0 tương đương với bất phương trình

(A) ;      (B) (x + 1)√x < 0

(C) (x + 1)²√x ≤ 0;      (D) (x + 1)²√x < 0

Lời giải

Chọn câu (C)

Ta có: (x + 1)√x ≤ 0 có T = {0}

(x + 1)²√x ≤ 0 có T = {0}

⇒ (x + 1)√x ≤ 0 ⇔ (x + 1)²√x ≤ 0

Bài 16 (trang 108 SGK Đại Số 10): Bất phương trình mx² + (2m – 1)x + m + 1 < 0 có nghiệm khi

(A) m = 1 ;     (B) m = 3

(C) m = 0 ;     (D) m = 0,25

Lời giải

Chọn câu (C)

Khi m = 0 thì bất phương trình trở thành -x + 1 < 0 ⇔ x > 1.

Đó là tập nghiệm của bất phương trình mx² + (2m -1)x + m + 1 < 0

Bài 17 (trang 108 SGK Đại Số 10): Hệ bất phương trình sau vô nghiệm

Lời giải

Chọn câu (C).