Để xem lời giải chi tiết SGK lớp 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 vui lòng truy cập website : edusmart.vn

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 4: Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx trên đoạn [(-π)/2; 3π/2] và các hàm số y = |x| trên khoảng (-∞; +∞).

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Lời giải:

- Hàm số y = cosx trên đoạn [(-π)/2; 3π/2]:

Các khoảng tăng: [(-π)/2,0], [π, 3π/2].

Các khoảng giảm: [0, π ],.

- Hàm số y = |x| trên khoảng (-∞; +∞)

Khoảng tăng: [0, +∞)

Khoảng giảm (-∞, 0].

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 5: Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng:

a) y = -x2/2 (H.4a)       b) y = 1/x (H.4b)

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng.

Lời giải:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 7: Khẳng định ngược lại với định lí trên có đúng không ? Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không ?

Lời giải:

Xét hàm số y = x3 có đạo hàm y’ = 3x2 ≥ 0 với mọi số thực x và hàm số đồng biến trên toàn bộ R. Vậy khẳng định ngược lại với định lý trên chưa chắc đúng hay nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó không nhất thiết phải dương (âm) trên đó.

Bài 1 (trang 9 SGK Giải tích 12): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a) y = 4 + 3x – x2

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

c) y = x4 - 2x2 + 3

d) y = -x3 + x2 – 5

Lời giải:

(Lưu ý:

Để xét xem dấu của hàm số là + hay - trong một khoảng nào đó ở bảng biến thiên, bạn lấy một giá trị bất kì nằm trong khoảng đó, thay vào đạo hàm y'. Nếu y' là dương thì dấu của y' trong khoảng đó là + và ngược lại.

Ví dụ: xét dấu y' = -x2 + 4 trong khoảng (-2; 2). Chẳng hạn ta lấy một giá trị bất kì trong khoảng là 1, thay vào y' ta được: y' = -(-1)2 + 4 = 3 > 0. Do đó dấu của y' trong khoảng (-2; 2) sẽ là +.)

a) D = R

y' = 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2 ) và nghịch biến trong khoảng ( 3/2 ; + ∞ ).

b) D = R

y' = x2 + 6x - 7

y' = 0 ⇔ x = -7 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞ ; -7) và (1 ; +∞ ); nghịch biến trong khoảng (-7; 1 ).

c) D = R

y'= 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 1) và (0 ; 1); đồng biến trong các khoảng (-1 ; 0) và ( 1; +∞).

d) D = R

y'= -3x2 + 2x

y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2/3

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 0) và (2/3 ; + ∞), đồng biến trong khoảng (0 ; 2/3 ).

Bài 2 (trang 10 SGK Giải tích 12): Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Lời giải:

a) D = R \ {1}

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 ∀ x ≠ 1

y' không xác định tại x = 1

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 1) ∪ (1; +∞).

b) D = R \ {1}

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

y' không xác định tại x = 1

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ;1) và (1 ; +∞)

c) D = (-∞ ; -4] ∪ [5; +∞)

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

y' không xác định tại x = -4 và x = 5

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số nghịch biến trong nửa khoảng (-∞ ; -4] và đồng biến trong nửa khoảng [5 ; + ∞ ).

d) D = R \ {±3}

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

y' không xác định tại x = ±3

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng đó nên hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞ ; -3) ( -3; 3) và (3; +∞ )

Bài 3 (trang 10 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng hàm số

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).

Lời giải:

TXĐ: D = R

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

y' = 0 => x = ±1

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞) (đpcm).

Bài 4 (trang 10 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng hàm số

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Lời giải:

TXĐ: D = [0; 2]

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

y' = 0 => x = 1

Bảng xét dấu y':

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Từ bảng trên ta có:

   + y' > 0 với x ∈ (0; 1) do đó đồng biến trên khoản (0; 1);

   + y' < 0 với x ∈ (1; 2) nên nghịch biến trên khoảng (1; 2).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2) (đpcm).

Bài 5 (trang 10 SGK Giải tích 12): Chứng minh các bất đẳng thức sau:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Lời giải:

a) Xét hàm số y= f(x) = tanx – x trên khoảng (0; π/2)

Ta có:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

=> hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2)

Do đó với x > 0 => f(x) > f(0) hay tanx - x > 0

=> tanx > x ∀ x ∈ (0; π/2) (đpcm)

b) Xét hàm số

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Theo kết quả câu a) thì tanx > x ∀ x ∈ (0; π/2)

Suy ra g'(x) > 0 ∀ x ∈ (0; π/2)

=> hàm số g'(x) đồng biến trên khoảng (0; π/2)

Do đó với x > 0 => g(x) > g(0)

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *