Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 13: Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

a) y = -x2 + 1 trong khoảng (-∞; +∞);

b) y = x/3(x+ 3)2 trong các khoảng (1/2; 3/2) và (3/2; 4).

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Lời giải:

a) Tại x = 0 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.

Xét dấu đạo hàm:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

b) Tại x = 1 hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4/3.

Tại x = 3 hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 0.

Xét dấu đạo hàm:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 14: Giả sử f(x) đạt cực đại tại xo. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12 khi Δx → 0 trong hai trường hợp Δx > 0 và Δx < 0.

Lời giải:

Với Δx > 0 Ta có Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12 f'(xo+ ).

Với Δx < 0 Ta có Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12 f'(xo- ).

Vậy f’(xo) = 0.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 14: a) Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không.

• y = -2x + 1;

• y = x/3(x-3)2 (H.8).

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Lời giải:

a,Hàm số y = -2x + 1 không có cực trị.

Hàm số y = x/3 (x-3)2 đạt cực đại tại x = 1 và đạt cực tiểu tại x = 3.

b, Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 16: Chứng minh hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số có đạt cực trị tại điểm đó không ?

Lời giải:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 0.

Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số y = |x|. Ta có hàm số đạt cực trị tại x = 0.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 16: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm s f(x) = x(x^2 – 3).

Lời giải:

1. TXĐ: D = R

2. f’(x) = 3x^2 – 3. Cho f’(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

3. Ta có bảng biến thiên:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại là 2

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu là -2.

Bài 1 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10 ; b) y = x4 + 2x2 - 3;

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Lời giải:

a) TXĐ: D = R

y' = 6x2 + 6x - 36 = 6(x2 + x - 6)

y' = 0 => x = -3 hoặc x = 2

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy đồ thị của hàm số có điểm cực đại là (-3; 71) và điểm cực tiểu là (2; -54).

b) TXĐ: D = R

y'= 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1) = 0; y' = 0 => x = 0

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số có điểm cực tiểu là (0; -3).

c) TXĐ: D = R \ {0}

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

y' = 0 => x = ±1

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số có điểm cực đại là x = -1 và điểm cực tiểu là xCT = 1.

d) TXĐ: D = R

Áp dụng công thức : (uv)' = u'v + uv'.

Đạo hàm của hàm hợp: (un)' = n.un - 1.u'

y'= 3x2(1 - x)2 - 2x3(1 - x) = x2(5x2 – 8x + 3)

y' = 0 => x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số cực đại x = 3/5 và điểm cực tiểu xCT = 1

(Lưu ý: x= 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.)

e) Ta có:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy D = R.

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số có điểm cực tiểu xCT = 1/2.

Bài 2 (trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x4 - 2x2 + 1 ;         b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx ;         d) y = x5 - x3 - 2x + 1

Lời giải:

a) TXĐ: D = R.

    y' = 4x3 - 4x

y'= 0 => x = 0; x = ±1.

    y" = 12x2 - 4

y"(0) = -4 < 0 => x = 0 là điểm cực đại của hàm số.

y"(±1) = 8 > 0 > x = -1 và x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

b) TXĐ: D = R

    y' = 2cos2x – 1;

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

c) TXĐ: D = R

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

d) TXĐ: D = R

    y'= 5x4 - 3x2 - 2

y' = 0 => x ±1.

    y" = 20x3 - 6x

y"(-1) = -20 + 6 = -14 < 0 => x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

y"(1) = 20 – 6 = 14 > 0 => x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

Bài 3 (trang 18 SGK Giải tích 12): Chứng minh hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt được cực tiểu tại điểm đó.

Lời giải:

Tính theo định nghĩa đạo hàm tại xo = 0 ta có:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Nghĩa là hàm số y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0. (1)

Mặt khác ta có: √|x| ≥ 0 ∀ x. Dấu "=" xảy ra khi x = 0.

Do đó hàm số y = √|x| đạt cực tiểu tại x = 0. (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Bài 4 (trang 18 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

y = x3 - mx2 - 2x + 1

luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

Lời giải:

Xét hàm số y = x3 - mx2 - 2x + 1 ta có:

TXĐ: D = R

    y' = 3x2 - 2mx - 2

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Với mọi giá trị của m ta đều có x1 < 0 < x2.

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Từ bảng trên ta thấy hàm số luôn có một điểm cực đại x = x1 và một điểm cực tiểu xCT = x2 với mọi giá trị của m (đpcm).

Bài 5 (trang 18 SGK Giải tích 12): Tìm a và b để các cực trị của hàm số

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

đều là nhưng số dương và xo = -5/9 là điểm cực đại.

Lời giải:

- Nếu a = 0 thì y = –9x + b. Vậy hàm số không có cực trị.

- Nếu a ≠ 0. Ta có: y'= 5a2x2 + 4ax - 9

y'= 0 => x = 1/a hoặc x = -9/5a

    + Với a > 0 ta có bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vì xo = -5/9 là điểm cực đại nên

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Theo đề bài thì yCT dương nên với a = 81/25 thì khi đó:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

    + Với a < 0 ta có bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vì xo = -5/9 là điểm cực đại nên

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Theo đề bài thì yCT dương nên với a = -9/5 thì khi đó:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy các giá trị a, b cần tìm là:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 6 (trang 18 SGK Giải tích 12): Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

đạt giá trị cực đại tại x = 2.

Lời giải:

TXĐ: D = R \ {-m}

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

y' = 0 => x1 = -m - 1; x2 = -m + 1

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 ⇔ - m – 1 = 2 => m = –3.

One thought on “GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA GIẢI TÍCH 12 - CHƯƠNG 1:Bài 2 cực trị của hàm số

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *