Đề thi môn Toán vào 10 thành phố hà nội (có đáp án – Đề 2)

đề thi môn toán vào 10

Trường THCS Ngọc Lâm

Đề thi thử vào lớp 10

Môn thi: Toán (Công lập) 

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức

(ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9 )

a) Tính giá trị của biểu thức M khi x = 9

b) Rút gọn biểu thức N

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai người cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong công việc. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc.

Bài 3: (2 điểm)  (đề thi môn toán vào 10)

1) Giải hệ phương trình

2) Cho phương trình x² + (m + 2)x + 2m = 0 (*)

a) Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x₁, x₂ không phụ thuộc vào m.

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A. Lấy điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) tại C (C khác A). Tiếp tuyến của đường tròn tại B cắt AC tại D và cắt MC tại F. Nối OM cắt AC tại E.

1) Chứng minh tứ giác OBDE nội tiếp

2) Chứng minh AC. AD = 4R²

3) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔMOF

Bài 5: (0,5 điểm) Giải phương trình:  (đề thi môn toán vào 10)

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

Áp dụng Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm √x + 3 và  ta được:

Dấu bằng xảy ra khi:

√x + 3 =  ⇔ (√x + 3)² = 25 ⇔ √x + 3 = 5 (do √x + 3 > 0)

⇔ √x = 2 ⇔ x = 4

Vậy GTNN của P = 16, đạt được khi x = 4

Bài 2:  (đề thi môn toán vào 10)

Đổi 7 giờ 12 phút = 

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ) 

Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y (giờ) 

=> Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được  công việc

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được  công việc

Cả 2 người làm chung thì làm xong trong 7 giờ 12 phút nên ta có phương trình:

Người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc chậm hơn người thứ hai là 6 giờ nên ta có phương trình:

x – y = 6 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Giải phương trình (*):

Đối chiếu với ĐK thì y = 12 => x = y + 6 = 18

Vậy người thứ nhất làm 1 mình thì hoàn thành công việc trong 18 giờ

Người thứ hai làm 1 mình thì hoàn thành công việc trong 12 giờ.

Bài 3:

Khi đó hệ phương trình trở thành:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = 

2)x² + (m + 2)x + 2m = 0 (*)

a)Δ = (m + 2)² – 4.2m = m² + 4m + 4 – 8m = (m – 2)² ≥ 0 ∀m

=> phương trình (*) luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m

b) Theo hệ thức Vi- ét, ta có:

=> 2(x₁ + x₂ ) + x₁.x₂ = -2(m + 2) + 2m = -4

Vậy 2(x₁ + x₂ ) + x₁.x₂ = -4 là hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x₁, x₂ không phụ thuộc vào m

Bài 4:

a) M là giao điểm của 2 tiếp tuyến MC và MA

=> MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC =>MO ⊥ AC

Xét tứ giác OBDE có:

∠OED = 90^o (MO ⊥ AC)

∠OBD = 90^o (BD là tiếp tuyến của (O))

=> ∠OED + ∠OBD = 180^o

=> Tứ giác OBDE là tứ giác nội tiếp

b) Xét tam giác ABD vuông tại D có BC là đường cao

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: AC.AD = AB² = (2R)² = 4R²

Vậy AC.AD = 4R²

c) 2 tiếp tuyến MC và Ma cắt nhau tại M

=> OM là tia phân giác của ∠COA => ∠COM = 

2 tiếp tuyến CF và FB cắt nhau tại F

=> OF là tia phân giác của ∠COB => ∠COF = 

Khi đó:

Tam giác MOF vuông tại O

=> Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF là trung điểm I của MF

Tam giác MIO cân tại I => ∠IOM = ∠IMO

Mặt khác ta có: ∠AMO = ∠IMO (do MO là tia phân giác ∠AMI )

=> ∠AMO = ∠IOM (1)

Tam giác MAO vuông tại A => ∠AMO + ∠AOM = 90^o(2)

Từ (1) và (2) => ∠IOM + ∠AOM =90^o ⇔ ∠AOI = 90^o hay AO ⊥ OI

=> AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF

Bài 5:

ĐKXĐ: x ≥ 2

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: a = – a² + 2

⇔ a² + a – 2 = 0

⇔ a = 1; a = -2

Do a < 0 nên a = – 2

Với a = -2, ta có:

Vậy phương trình có nghiệm x = 2