Đề thi môn Toán vào 10 (có đáp án – Tự luận – Đề 5)

Đề thi môn Toán vào 10 (có đáp án – Tự luận – Đề 5)

đề thi môn toán vào 10

Môn thi: Toán (Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: ( 1,5 điểm)  (đề thi môn toán vào 10)

1) Với giá trị nào của x thì biểu thức sau xác định

2) Rút gọn biểu thức sau:

Bài 2 : ( 2 điểm)Cho hệ phương trình sau:  (đề thi môn toán vào 10)

a) giải hệ phương trình trên khi m = 2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn

(2m – 1)x + (m + 1)y = m

Bài 3 : ( 2 điểm)Cho phương trình bậc hai: x² – mx + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁ ; x₂ sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất

Tìm giá trị lớn nhất đó

Bài 4 : ( 1 điểm)Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120km trong một thời gian quy định . Sau khi đi được một giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc ô tô lúc đầu.

Bài 5 : ( 3,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

1) Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh

3) BE và CF lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là M và N. Chứng minh EF // MN

4) Giả sử B và C cố định; A thay đổi. Tìm vị trị của A sao cho tam giác AEH có diện tích lớn nhất.

Đáp án và Hướng dẫn giải  (đề thi môn toán vào 10)

Bài 1 :

1) Biểu thức  xác định khi

Vậy với x >= -2; x ≠ 0 thì biểu thức trên xác định

Bài 2 :

a) Khi m = 2, ta có hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (; -4)

b)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m ≠0

Khi đó, hệ phương trình có nghiệm:

Theo bài ra: (2m – 1)x + (m + 1)y = m

⇔ (2m – 1) + (m+1)(-4) = m

⇔ 18 – – 4m – 4 = m

=>18m – 9 – 4m² – 4m – m² = 0

⇔ -5m² + 14m – 9 = 0

Đối chiếu với điều kiện thỏa mãn m ≠0

Vậy m = 1 hoặc m =  thỏa mãn ĐK

Bài 3 :

x² – mx + m – 1 = 0

Δ = m² – 4(m – 1) = m² – 4m + 4 = (m – 2)² > 0 ∀m

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x₁; x₂ với mọi m

Theo định lí Vi-et, ta có:

Ta có: (m – 1)² >= 0 ∀m

=> 1 –  => 1 hay R => 1

Dấu bằng xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1

Vậy GTLN của R là 1 đạt được khi m = 1

Bài 4 :

Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h) (x > 0)

Thời gian dự định đi của ô tô là  (h)

Quãng đường còn lại sau khi ô tô đi được 1 giờ là: 120 – x (km)

tô đi trên quãng đường còn lại với vận tốc là x + 6 (km/h)

Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là  (h)

Theo bài ra ta có phương trình:

=> x² + 42x – 4320 = 0

Do x > 0 nên x = 48

Vậy vận tốc dự định của ô tô là 48 km/h.

Bài 5 :

a) Xét tứ giác BFEC có:

∠BFC = 90^o (CF là đường cao)

∠BEC = 90^o (BE là đường cao)

=> 2 đỉnh E và F cùng nhìn BC dưới một góc bằng nhau

=> Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp

b) Xét ΔABE và ΔACF có:

∠BAC là góc chung

∠AEB = ∠AFC = 90^o

=> ΔABE ∼ ΔACF (g.g)

=>  = <AB.AF = AC.AE

c) Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp

=> ∠EFC = ∠EBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Xét (O) có: ∠CNM = ∠EBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)

=> ∠EFC = ∠CNM

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> EF // MN

d) Kẻ đường kính AA’, Nối A’H cắt BC tại K

Ta có: ∠ABA’ = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> AB ⊥ BA’

HC ⊥ AB (HC là đường cao)

=> BA’ // HC

Tương tự: ∠ ACA’ = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> AC ⊥ CA’

HB⊥AC (BH là đường cao)

=> CA’ // HB

Xét tứ giác BA’CH có:

 => Tứ giác BA’ CH là hình bình hành.

2 đường chéo BC và A’H giao nhau tại K

=> K là trung điểm của A’H và BC

Do B, C,O cố định nên OK cố định

Xét tam giác AHA’ có:

O là trung điểm của AA’

K là trung điểm của A’H

=> OK là đường trung bình của tam giác AHA’

=> OK= AH => AH = 2OK

Ta có:

4S_AHE = 2AE.EH => AE² + EH² = AH² = 4OK²

=> S_AHE => OK²

Dấu bằng xảy ra khi AE = EH

=> ΔAHE cân tại E => ∠HAE = 45^o => ∠CAB = 45^o

Vậy điểm A nằm trên đường tròn sao cho ∠CAB = 45^o