Đề thi môn Toán vào 10 thành phố hà nội (có đáp án – Đề 1)

đề thi môn toán vào 10

Trường THCS & THPT Lương Thế Vinh

Đề thi thử vào lớp 10

Môn thi: Toán (Công lập) (đề thi môn toán vào 10)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm) Cho các biểu thức:

với x ≥ 0; x ≠ 9

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm x sao cho P = 3

c) Đặt M = P : Q. Tìm x để |M| < 

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) trong 1 giờ 12 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 30 phút và vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được  bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể?

Bài 3: (2 điểm)  (đề thi môn toán vào 10)

1) Giải hệ phương trình:

2) Cho hai hàm số: y = 2x – 1 và y =  + 4

a) Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hai hàm số trên

b) Gọi N, P lần lượt là giao điểm của hai đồ thị trên với trục Oy. Tính diện tích ΔMNP

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O ; R) đường kính AB và điểm M bất kì thuộc đường tròn (M ≠ A, B) . Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BM ở N. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AN ở D.

a) Chứng minh: 4 điểm A, D, M , O cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh: OD // BM và suy ra D là trung điểm của AN

c) Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BM cắt tia DM ở E. Chứng minh: BE là tiếp tuyến của đường tròn (O ; R)

d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng BM tại I. Gọi giao điểm của AI và BD là J. Khi điểm M di động trên (O ; R) thì J chạy trên đường nào?

Bài 5: (0,5 điểm) Cho a > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a² + 4a + 15 + 

Đáp án và Hướng dẫn giải  (đề thi môn toán vào 10)

Bài 1:

Vậy với  thì P = 3

Vậy với mọi x thỏa mãn điều kiện x ≥ 0;x ≠ 9 thì |M| < 

Bài 2:

Đổi 1 giờ 12′ = 

Gọi thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là x (h) 

Thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là y (h) 

Trong 1h vòi thứ nhất chảy được  (bể nước)

Trong 1h vòi thứ hai chảy được  (bể nước)

=> Trong 1h cả hai vòi chảy được  (bể nước)

Do cả 2 vòi chảy trong 1 giờ 12 phút thì đầy bể nên ta có phương trình:

Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 30 phút và vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được  bể nên ta có phương trình:

Ta có hệ phương trình:

Vậy vòi 1 chảy 1 mình trong 2 giờ thì đầy bể

Vòi 2 chảy 1 mình trong 3 giờ thì đầy bể.

Bài 3:

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (6; 8)

2) Tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng trên là M (2; 3)

Gọi N là giao điểm của đường thẳng y = 2x – 1 với Oy => N (0; -1)

Gọi P là giao điểm của đường thẳng y =  + 4 với Oy => P (0; 4)

Gọi E là hình chiếu vuông góc của M trên Oy

=> EM ⊥ PN; EM = 2

Ta có PN = |y_P | + |y_N| = 5

S_PMN = EM.PN =  .2.5 = 5 (đơn vị diện tích)

Bài 4:

a) Xét tứ giác ADMO có:

∠DMO =90^o (do M là tiếp tuyến của (O))

∠DAO =90^o (do AD là tiếp tuyến của (O))

=> ∠DMO + ∠DAO = 180^o

=> Tứ giác ADMO là tứ giác nội tiếp.

b) Do D là giao điểm của 2 tiếp tuyến DM và DA nên OD là tia phân giác của ∠AOM

=>(AOD = ∠AOM

Mặt khác ta có (ABM là góc nội tiếp chắn cung AM

=> ∠ABM = ∠AOM

=> ∠AOD = ∠ABM

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> OD // BM

Xét tam giác ABN có:

OM// BM; O là trung điểm của AB

=> D là trung điểm của AN

c) Ta có: ΔOBM cân tại O ;OE ⊥MB =>OE là đường trung trực của MB

=>EM = EB => ΔMEB cân tại E => ∠EMB = ∠MEB (1)

ΔOBM cân tại O => ∠OMB = ∠OBM (2)

Cộng (1) và (2) vế với vế, ta được:

∠EMB + ∠OMB = ∠MEB + ∠OBM ⇔ ∠EMO =∠EOB ⇔ ∠EOB =90^o

=>OB ⊥ BE

Vậy BE là tiếp tuyến của (O).

d) Lấy điểm E trên tia OA sao cho OE = 

Xét tam giác OAI có OI vừa là đường cao vừa là trung tuyến

=> Tam giác OAI cân tại I => IA = IB; ∠IBA = ∠IAB

Ta có:

=> ∠NAI = ∠INA => ΔINA cân tại I => IA = IN

Tam giác NAB vuông tại A có: IA = IN = IB

=> IA là trung tuyến của tam giác NAB

Xét ΔBNA có:

IA và BD là trung tuyến; IA ∩ BD = {J}

=> J là trọng tâm của tam giác BNA

Xét tam giác AIO có:

=> J nằm trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng bằng R/3.

Phần đảo: Lấy điểm J’ bất kì thuộc đường thẳng d

Do d// OI (cùng vuông góc AB) nên ta có:

AI là trung tuyến của tam giác NAB

=> J’ là trọng tâm tam giác NAB

Vậy khi M di chuyển trên (O) thì J di chuyển trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng là R/3.

Bài 5:

Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho các số không âm ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy GTNN của P là 36, đạt được khi a = 3