Đề thi môn Toán vào 10 (có đáp án – Tự luận – Đề 10)

đề thi môn toán vào 10

Môn thi: Toán (Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 : ( 1,5 điểm)  (đề thi môn toán vào 10)

1) Rút gọn biểu thức sau:

2) Cho biểu thức

Rút gọn biểu thức P = 

Bài 2 : ( 1,5 điểm) Cho các đường thẳng sau:

(d₁ ): y = x – 2

(d₂ ): y = 2x – 4

(d₃ ): y = mx + m + 2

a) Tìm điểm cố định mà (d₃ ) luôn đi qua với mọi m

b) Tìm m để 3 đường thẳng trên đồng quy

Bài 3 : ( 2,5 điểm)  (đề thi môn toán vào 10)

1) Cho phương trình: x² + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.

a) giải phương trình khi m = 2

b) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

2) giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng . Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng  . Tìm phân số đó.

Bài 4 : ( 3,5 điểm)  (đề thi môn toán vào 10)

1) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định, BC= R√3 A là điểm di động trên cung lớn BC (A khác B, C) sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Kẻ đường kính AF của đường tròn (O), AF cắt BC tại điểm N.

a) Chứng minh tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AE.AB = AD.AC

c) Gọi I là trung điểm của BC

Chứng minh rằng F, I, H thẳng hàng

2) Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 128π cm², chiều cao bằng bán kính đáy. Tính thể tích của hình trụ đó

Bài 5 : ( 1 điểm)

1) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≥ 3. Chứng minh rằng:

Dấu bằng xảy ra khi nào?

2) Cho x, y thỏa mãn 0 < x < 1; 0 < y < 1 và

Tính giá trị của biểu thức

Bài 1 :  (đề thi môn toán vào 10)

1) Rút gọn biểu thức sau:

= 4 – √3

= √x (√x + 1) – √x (√x – 1)

= x + √x – x + √x

= 2√x

Bài 2 :

1)

Giả sử điểm cố định mà (d₃ ) luôn đi qua với mọi m là A(x_o; y_o)

y_o = mx_o + m + 2 đúng với mọi m

⇔m(x_o + 1) + (2 – y_o ) = 0 đúng với mọi m

Vậy điểm cố định mà (d₃ ) luôn đi qua với mọi m là A ( -1; 2)

b) Tìm m để 3 đường thẳng trên đồng quy

Tọa độ giao điểm của (d₁ ) và (d₂ ) là nghiệm của hệ phương trình

Để 3 đường thẳng trên đồng quy thì (d₃ ) phải đi qua giao điểm của (d₁ ) và (d₂ )

⇔0 = 2m + m + 2

⇔m = 

Vậy với m =  thì 3 đường thẳng trên đồng quy

Bài 3 :

1) Cho phương trình: x² + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.

a) Khi m = 2 ta có phương trình:

x² + 2x – 3 = 0

Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm x = 1 và x = -3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; -3}

b) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

x² + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0

Δ’ = (m – 1)²-(m – 1) = (m – 1)(m – 2)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

Δ’ > 0 ⇔(m – 1)(m – 2) > 0

Khi đó theo định lí Vi-et ta có:

Phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

⇔ (x₁ – 1)(x₂ – 1)<0

⇔ x₁x₂ – (x₁ + x₂ ) + 1 < 0

⇔ –(m + 1) + 2(m + 1) + 1 < 0

⇔ m + 2 < 0

⇔ m < -2

Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn

Vậy với m < -2 thì phương trình có 2 nghiệm trong đó một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

2)

Gọi tử số của phân số đó là x

Mẫu số của phân số đó là y (y ≠ 0)

Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 

nên ta có phương trình

=> 8x = y + 8 (1)

Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng  nên ta có phương trình

=> 24x + 168 = 15y (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy phân số cần tìm là 

Bài 4 :

a) Xét tứ giác BEDC có:

∠BEC = 90^o (CE là đường cao)

∠BDC = 90^o (BD là đường cao)

=> Hai đỉnh D và E cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông

=> Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp

b) Xét ΔAEC và ΔADB có:

∠BAC là góc chung

∠AEC = ∠BDA = 90^o

=> ΔAEC ∼ ΔADB (g.g)

 => AE.AB = AC.AD

c) Ta có:

∠FBA = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>FB⊥AB

Lại có: CH⊥AB (CH là đường cao)

=> CH // FB

Tương tự,( FCA) = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>FC⊥AC

BH là đường cao => BH ⊥AC

=> FC // BH

Xét tứ giác CFBH có:

CH // FB

FC // BH

=> Tứ giác CFBH là hình bình hành.

Mà I là trung điểm của BC

=> I cũng là trung điểm của FH

Hay F, I, H thẳng hàng.

2) Diện tích xung quanh của hình trụ:

S = 2πRh = 2πR² = 128π (do chiều cao bằng bán kính đáy)

=> R = 8 cm ; h = 8cm

Thể tích của hình trụ là

V = πR² h = π.8².8 = 512π (cm³)

Bài 5 :

Ta có:

Dấu bằng xảy ra khi:

2)

Từ giả thiết 0 < x < 1; 0 < y < 1 nên ta có:

⇔2x + 2y – 1 = 3xy

= x + y + 1 – x – y = 1 (do x + y ≤ 1)

Vậy P = 1.