Đề thi môn Toán vào 10 (có đáp án – Tự luận – Đề 4)

đề thi môn toán vào 10

Môn thi: Toán (Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 : ( 1,5 điểm)

1) Tính A = 

2) Rút gọn biểu thức B = 

Bài 2 : ( 2 điểm) (đề thi môn toán vào 10)

1) giải hệ phương trình sau:

2) Giải phương trình sau:

Bài 3 : ( 2 điểm)  (đề thi môn toán vào 10)

Cho (P): y = và đường thẳng (d): y = m(x – 1) – 2

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Chứng minh: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi. Gọi x_A ,x_B lần lượt là hoành độ của A và B .Xác định m để x_A²x_B + x_B² x_Ađạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó?

Bài 4 : ( 1 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Nhà máy luyện thép hiện có sẵn hai loại thép chứa 10% Cacbon và loại thép chứa 20% Cacbon. Gỉa sử trong quá trình luyện thép các nguyên liệu không bị hao hút. Tính khối lượng thép mỗi loại cần dùng để tạo ra 1000 tấn thép chứa 16% Cacbon từ hai loại thép trên.

Bài 5 : (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. C là điểm nằm bất kì trên đường tròn sao cho C ≠A,B và AC < CB. D thuộc cung nhỏ BC sao cho ∠DOC = 90^o. E là giao điểm của AD và BC; F là giao điểm của AC và BD

a) Chứng minh rằng tứ giác CEDF là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng FC. FA = FD. FB

c) I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng IC là tiếp tuyến của (O)

d) Khi C thay đổi thỏa mãn điều kiện của bài toán thì I thuộc đường tròn cố định nào?

Đáp án và Hướng dẫn giải  (đề thi môn toán vào 10)

Bài 1 :

Bài 2 :

Đặt  = t (t>0), phương trình trở thành:

t² + t – 42 = 0

Δ = 1 – 4.(-42) = 169 => = 13

Phương trình có 2 nghiệm là:

Do t > 0 nên t = 6

Khi đó:  = 6 <=>x³ + 20 = 36 <=>x = ±4

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 4; x = – 4

Bài 3 :

a) (P): y = 

Bảng giá trị:

x	-4	-2	0	2	4
y =	-4	-1	0	1	4

Đồ thị (P) là đường Parabol nằm phía dưới trục hoành, nhận Oy làm trục đối xứng và nhận điểm O (0;0) làm đỉnh và điểm cao nhất

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

 = m(x – 1) -2

<=> x² + 4mx – 4m – 8 = 0

Δ’ = (2m)² – (-4m – 8) = 4m² + 4m + 8 = 4(m + 1)² + 4 > 0∀m

=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt hay (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành độ là x_A; x_B

Theo định lí Vi-et ta có:

x_A²x_B + x_B²x_A = x_Ax_B(x_A + x_B ) = (-4m – 8).(-4m)

= 16m² + 32m = 16(m + 1)² – 16

Ta có: 16(m + 1)² ≥ 0 ∀m

=> 16(m + 1)²-16 ≥ -16 ∀m

Dấu bằng xảy ra khi m + 1 = 0 <=> m = -1

Vậy GTNN của biểu thức là – 16, đạt được khi m = – 1

Bài 4 :

Gọi khối lượng thép chứa 10% Cacbon cần dùng là x (tấn)

=> Khối lượng Cacbon có trong x tấn thép 10% Cacbon là 10% x = 0,1x (tấn)

Khối lượng thép chứa 20% Cacbon cần dùng là y ( tấn)

=> Khối lượng Cacbon có trong x tấn thép 20% Cacbon là 20% x = 0,2y (tấn)

Theo bài ra cần tạo 1000 tấn thép chứa 16% Cacbon nên ta có hệ phương trình:

Vậy cần 400 tấn thép loại 10% Cacbon

600 tấn thép loại 20% Cacbon

Bài 5 :

a) ∠ACB = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=>∠FCE = 90^o

∠ADB = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=>∠FDE = 90^o

Xét tứ giác CEDF có:

∠FCE = 90^o

∠FDE = 90^o

=> ∠FCE + ∠FDE = 180 ^o

=> Tứ giác CEDF là tứ giác nội tiếp

b) Xét ΔAFD và ΔBFC có:

∠AFB là góc chung

∠ADF = ∠BCF = 90^o

=> ΔAFD ∼ ΔBFC

=>  => FA.FC = FB.FD

c) Do ∠FCE = 90^oNên FE là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF

Do đó trung điểm I của FE là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF

Tam giác CFI có IC = IF => ΔCFI cân tại I

=> CFI = ∠FCI

Tứ giác CEDF nội tiếp =>∠CFI = CDE (2 góc nội tiếp cùng chắn )

Tứ giác ACDB nội tiếp =>∠CDE = ∠CBA(2 góc nội tiếp cùng chắn )

ΔAOB cân tại O =>∠BCO = ∠CBA

=> ∠FCI = ∠BCO

=> ∠FCI + ∠ECI = ∠BCO + ∠ECI <=> ∠FCE = ∠ICO

=> ∠ICO = 90^o

Vậy IC là tiếp tuyến của (O)

d) Chứng minh tương tự câu c, ta có ∠IDO) = 90^o

Xét tứ giác ICOD có:

∠ICO = ∠IDO = ∠COD = 90^o

=> Tứ giác ICOD là hình chữ nhật

Lại có OC = OD = R

=> Tứ giác ICOD là hình vuông.

Có OI là đường chéo hình vuông cạnh R

=> OI = R√2

O cố định, do đó I thuộc đường tròn tâm O, bán kính R√2 cố định