Đề thi môn Toán vào 10 (có đáp án – Tự luận – Đề 3)

đề thi môn toán vào 10

Môn thi: Toán (Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 : ( 2 điểm)Cho biểu thức: (đề thi môn toán vào 10)

với x ≥ 0; x ≠ 9,x ≠ 25

a) Rút gọn A.

b) Tìm x để A < 1.

Bài 2 : ( 2 điểm) (đề thi môn toán vào 10)

1) Cho Phương trình: mx² – 2(m + 1)x + (m – 4) = 0 (m là tham số).

a) Xác định m để các nghiệm x₁; x₂ của Phương trình thoả mãn x₁ + 4x₂ = 3

b) Tìm một hệ thức giữa x₁; x₂ mà không phụ thuộc vào m

2) giải hệ phương trình

Bài 3 : ( 2 điểm)Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Lớp 9A được phân công trồng 480 cây xanh. Tuy nhiên, khi lao động có 8 bạn vắng nên mỗi bạn có mặt phải trồng thêm 3 cây mới xong. Biết rằng số cây mỗi học sinh trồng như nhau. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh?

Bài 4 : ( 3,5 điểm)Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). AH là đường cao của tam giác ABC, M, N theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC.

a) Chứng minh AMHN là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh (ABC) =(ANM)

c) Chứng minh OA ⊥ MN

d) Khi AH = , Chứng minh M, O, N thẳng hàng

Bài 5: ( 0,5 điểm) Cho a, b > 0 và a + b =< 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 1:

a) Với x ≥ 0; x ≠ 9, x ≠ 25

Vậy với x > 4; x ≠ 9, x ≠ 25 thì A <

Bài 2: (đề thi môn toán vào 10)

a) Với m ≠ 0, phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn x

Δ’ = (m + 1)² – m(m – 4) = m² + 2m + 1 – m² + 4m = 6m + 1

Phương trình có 2 nghiệm x₁; x₂ khi và chỉ khi Δ’ = 6m + 1 ≥ 0

Khi đó, theo định lí Vi-et ta có:

Theo bài ra:

x₁ + 4x₂ = 3

<=> (x₁ + x₂ ) + 3x₂ = 3

 + 3x₂ = 3

=> 5m² – 2m – 16 = 9m² – 36m

<=> 4m² – 34m + 16 = 0

Đối chiếu với điều kiện thỏa mãn

Vậy m = 8, m =  thì x₁ + 4x₂ = 3

b) Ta có:

2(x₁ + x₂ ) + x₁x₂ =  = 5

Vậy hệ thức liên hệ giữa x₁ và x₂ không phụ thuộc vào m là 2(x₁ + x₂ ) + x₁x₂ = 5

Bài 3:

Gọi số học sinh lớp 9A là x ( học sinh) (x > 8, x ∈ N)

Khi đó, số cây mỗi học sinh phải trồng là:

 (cây học sinh )

Do có 8 bạn học sinh vắng mặt nên số cây mỗi bạn phải trồng là

 (cây học sinh )

Theo bài ra, mỗi bạn phải trồng thêm 3 cây nên ta có phương trình

=> 480(x – 8) + 3x(x – 8) = 480x

<=> 3x² – 24x – 3840 = 0

Vậy số học sinh lớp 9A là 40 học sinh

Bài 4:

a) Xét tứ giác AMHN có:

∠AMH = 90^o (MH ⊥ AB)

∠ANH = 90^o (NH ⊥ AC)

=> ∠AMH + ∠ANH = 180^o

=> Tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp

b) Ta có:

ΔAMH vuông tại M: ∠AHM + ∠MAH = 90^o

ΔABH vuông tại H: ∠ABC + ∠MAH = 90^o

=> ∠AHM = ∠ABC

Do tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp nên ∠AHM = ∠ANM (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

=> ∠ABC = ∠ANM

c) Kẻ đường kính AD của (O), Gọi I là giao điểm của AD và MN

ΔANH vuông tại N: ∠AHN + ∠NAH = 90^o

ΔACH vuông tại H: ∠AHN + ∠ACB = 90^o

=> ∠NAH = ∠ACB

Ta lại có: ∠ACB = ∠ADB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

=> ∠NAH = ∠ADB

Mặt khác: tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp nên ∠AMN = ∠AHN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

=> ∠AMN = ∠ADB

Xét ΔAMI và ΔABD có:

∠BAD là góc chung

∠AMN = ∠ADB

=> ΔAMI ∼ ΔADB

=> ∠ AIM = ∠ABD

Mà ∠ABD = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> ∠AIM = 90^o

Hay OA ⊥ MN

d) Xét tam giác AIN và tam giác ACD có:

∠DAC là góc chung

∠AIN = ∠ACD = 90^o

=> ΔAIN ∼ ΔACD

=><=> AI.AD = AC.AN (1)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

=> AC. AN = AH² (2)

Từ (1) và (2) => AI.AD = AH² <=> AI.AD = 2R²

<=> AI.2R = 2R² <=> AI = R <=> I ≡ O

Vậy M, N, O thẳng hàng.

Bài 5:

Do a, b > 0 nên ta có:

Dấu bằng xảy ra khi:

Vậy GTLN của P là 2√2, đạt được khi a = b = 1.