BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Cho hàm số $$y=\frac{x+1}{1-x}$$. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng? ( Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $$\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$$.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng $$\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$$.
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $$\left( -\infty ;1 \right)$$ và $$\left( 1;+\infty \right)$$.
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $$\left( -\infty ;1 \right)$$ và $$\left( 1;+\infty \right)$$.

Lời giải chi tiết

• Chọn D.

TXĐ: \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]. Ta có \[y’=\frac{2}{{{(1-x)}^{2}}}>0\text{, }\forall x\ne 1\]

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[(-\infty ;1)\]và \[(1;+\infty )\]

Câu 2. Cho hàm số $$y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+2$$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $$\left( -\infty ;1 \right)$$ và $$\left( 1;+\infty \right)$$.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng $$\left( -\infty ;1 \right)$$ và nghịch biến trên khoảng $$\left( 1;+\infty \right)$$.
D. Hàm số luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

Lời giải chi tiết

• Chọn A.

TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]. Ta có \[y’=-3{{x}^{2}}+6x-3=-3{{(x-1)}^{2}}\le 0\text{ ,  }\forall x\in \mathbb{R}\]

Câu 3. Cho hàm số $$y=-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+10$$ và các khoảng sau:

(I): $$\left( -\infty ;-\sqrt{2} \right)$$; (II): $$\left( -\sqrt{2};0 \right)$$; (III): $$\left( 0;\sqrt{2} \right)$$;
Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào? ( Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. Chỉ (I).                       B. (I) và (II).                       C. (II) và (III).                       D. (I) và (III).

Lời giải chi tiết

• Chọn D.

TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]. \[y’=-4{{x}^{3}}+8x=4x(2-{{x}^{2}})\].  \[y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\]

Trên các khoảng $$\left( -\infty ;-\sqrt{2} \right)$$ và $$\left( 0;\sqrt{2} \right)$$, $$y’>0$$nên hàm số đồng biến.

Câu 4. Cho hàm số$$y=\frac{3x-1}{-4+2x}$$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? ( Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. Hàm số luôn nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( -\infty ;\,2 \right)\]và \[\left( 2;+\infty \right)\].
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( -\infty ;\,-2 \right)\] và\[\left( -2;+\infty \right)\].

Lời giải chi tiết

• Chọn B.

TXĐ: \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\]. Ta có\[y’=-\frac{10}{{{(-4+2x)}^{2}}}<0,\forall x\in D\].

Câu 5. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên \[\mathbb{R}\]? ( Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. \[h(x)={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4\].                      

B. \[g(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+10x+1\].
C. \[f(x)=-\frac{4}{5}{{x}^{5}}+\frac{4}{3}{{x}^{3}}-x\].                      

D. \[k(x)={{x}^{3}}+10x-{{\cos }^{2}}x\].

Lời giải chi tiết

• Chọn C.

Ta có: \[f'(x)=-4{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-1=-{{(2{{x}^{2}}-1)}^{2}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\].

Câu 6. Hỏi hàm số \[y=\frac{{{x}^{2}}-3x+5}{x+1}\] nghịch biến trên các khoảng nào ? ( Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. $$(-\infty ;-4)$$và $$(2;+\infty )$$. 
B. \[\left( -4;2 \right)\].
C. \[\left( -\infty ;-1 \right)\] và \[\left( -1;+\infty \right)\].
D. \[\left( -4;-1 \right)\] và \[\left( -1;2 \right)\].

Lời giải chi tiết

• Chọn D.

TXĐ: \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\]. \[y’=\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{{{(x+1)}^{2}}}\]. \[y’ = 0 \Rightarrow {x^2} + 2x – 8 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = – 4\end{array} \right.\]

\[y’\] không xác định khi \[x=-1\]. Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $$\left( -4;-1 \right)$$ và $$\left( -1;2 \right)$$

Câu 7. Hỏi hàm số \[y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-3{{x}^{2}}+5x-2\] nghịch biến trên khoảng nào? ( Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. $$(5;+\infty )$$                 

B. \[\left( 2;3 \right)\]               

C. $$\left( -\infty ;1 \right)$$             

D. \[\left( 1;5 \right)\]

Lời giải chi tiết

• Chọn D. TXĐ: \[\text{D}=\mathbb{R}\]. \[y’ = {x^2} – 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.\]

TXĐ: \[\text{D}=\mathbb{R}\]. \[y’={{x}^{2}}-6x+5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=1 \ x=5 \\\end{align} \right.\]

Trên khoảng\[\left( 1;5 \right),\text{ }y'<0\] nên hàm số nghịch biến

Câu 8. Hỏi hàm số\[y=\frac{3}{5}{{x}^{5}}-3{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-2\] đồng biến trên khoảng nào?

A. $$(-\infty ;0)$$. B. \[\mathbb{R}\]. C. $$(0;2)$$. D. $$(2;+\infty )$$. ( Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

Lời giải chi tiết

• Chọn B.

TXĐ: \[\text{D}=\mathbb{R}\]. \[y’=3{{x}^{4}}-12{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}=3{{x}^{2}}{{(x-2)}^{2}}\ge 0\text{ , }\forall x\in \mathbb{R}\]         

Câu 9. Cho hàm số $$y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$$. Hỏi hàm số luôn đồng biến trên$$\mathbb{R}$$ khi nào? ( Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

Lời giải chi tiết

• Chọn A.

$$y’ = 3a{x^2} + 2bx + c \ge 0,\forall x \in \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = 0,c > 0\\a > 0;{b^2} – 3ac\le 0\end{array} \right.$$

Câu 10. Cho hàm số \[y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+15\]. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? ( Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( -3;1 \right)\].
B. Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
C. Hàm số đồng biến trên \[\left( -9;-5 \right)\].
D. Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( 5;+\infty \right)\].

Lời giải chi tiết

• Chọn B.

TXĐ: \[\text{D}=\mathbb{R}\]. Do \[y’=3{{x}^{2}}+6x-9=3(x-1)(x+3)\] nên hàm số không đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

Câu 11. Cho hàm số $$y=\sqrt{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}$$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? ( Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $$\left( 0;2 \right)$$.
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng $$\left( -\infty ;0 \right);\left( 2;3 \right)$$.
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $$\left( -\infty ;0 \right);\left( 2;3 \right)$$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $$\left( 2;3 \right)$$.

Lời giải chi tiết

• Chọn B.

HSXĐ:$$3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}\ge 0\Leftrightarrow x\le 3$$ suy ra $$\text{D}=(-\infty ;3]$$. $$y’=\frac{6x-3{{x}^{2}}}{2\sqrt{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}}$$, $$\forall x\in \left( -\infty ;3 \right)$$.

\[y’ = 0{\rm{ }} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\]

\[y’\] không xác định khi \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến \[(-\infty ;0)\]và \[(2;3)\]. Hàm số đồng biến \[(0;2)\]

 

Câu 12. Cho hàm số $$y=\frac{x}{2}+{{\sin }^{2}}x,x\in \left[ 0;\pi \right]$$. Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

A. \[\left( 0;\frac{7\pi }{12} \right)v\grave{a}\left( \frac{11\pi }{12};\pi \right)\]. B. \[\left( \frac{7\pi }{12};\frac{11\pi }{12} \right)\].
C. \[\left( 0;\frac{7\pi }{12} \right)v\grave{a}\left( \frac{7\pi }{12};\frac{11\pi }{12} \right)\]. D. \[\left( \frac{7\pi }{12};\frac{11\pi }{12} \right)v\grave{a}\left( \frac{11\pi }{12};\pi \right)\].

Lời giải chi tiết

• Chọn A.

TXĐ:  $$\text{D}=\mathbb{R}$$. $$y’=\frac{1}{2}+\sin 2x$$. Giải \[y’ = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = – \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\]

Vì \[x\in \left[ 0;\pi  \right]\]nên có 2 giá trị \[x=\frac{7\pi }{12}\]và \[x=\frac{11\pi }{12}\]thỏa mãn điều kiện.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến \[\left( 0;\frac{7\pi }{12} \right)\]và \[\left( \frac{11\pi }{12};\pi  \right)\]

Câu 13. Cho hàm số $$y=x+{{\cos }^{2}}x$$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? ( Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. Hàm số luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
B. Hàm số đồng biến trên $$\left( \frac{\pi }{4}+k\pi ;+\infty \right)$$và nghịch biến trên khoảng $$\left( -\infty ;\frac{\pi }{4}+k\pi \right)$$.
C. Hàm số nghịch biến trên $$\left( \frac{\pi }{4}+k\pi ;+\infty \right)$$và đồng biến trên khoảng $$\left( -\infty ;\frac{\pi }{4}+k\pi \right)$$.
D. Hàm số luôn nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].

Lời giải chi tiết

• Chọn A.

TXĐ: $$D=\mathbb{R}$$; $${y}’=1-\sin 2x\ge 0\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$$ suy ra hàm số luôn đồng biến trên $$\mathbb{R}$$

Câu 14. Cho các hàm số sau:

\[(\text{I}):y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x+4\]; $$(\text{II}):y=\frac{x-1}{x+1}$$ ; $$(\text{III}):y=\sqrt{{{x}^{2}}+4}$$
$$(\text{IV}):y={{x}^{3}}+4x-\sin x$$; $$(\text{V}):y={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+2$$ .
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định? (Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. 2.                      

B. 4.                      

C. 3.                      

D. 5.

Lời giải chi tiết

• Chọn C .

(I): $${y}’={{x}^{2}}-2x+3={{\left( x-1 \right)}^{2}}+2>0,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$$.

(II): $${y}’={{\left( \frac{x-1}{x+1} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{{{(x+1)}^{2}}}>0,\,\,\forall x\ne -1$$                                                     (III): $${y}’={{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+4} \right)}^{\prime }}=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+4}}$$

(IV): \[{y}’=3{{x}^{2}}+4-\cos x>0,\forall x\in \mathbb{R}\]    (V): $${y}’=4{{x}^{3}}+2x=2x(2{{x}^{2}}+1)$$

Câu 15. Cho các hàm số sau:

$$(\text{I}):y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+1$$; $$(\text{II}):y=\sin x-2x$$;
$$(\text{III}):y=-\sqrt{{{x}^{3}}+2}$$; $$(\text{IV}):y=\frac{x-2}{1-x}$$
Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số? (Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. (I), (II).                                             B. (I), (II) và (III).
C. (I), (II) và (IV).                                             D. (II), (III).

Lời giải chi tiết

• Chọn A.

(I):$$y’=(-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+1)’=-3{{x}^{2}}+6x-3=-3{{(x-1)}^{2}}\le 0\text{, }\forall x\in \mathbb{R}$$;

(II):$$y’=(\sin x-2x)’=\cos x-2<0,\forall x\in \mathbb{R}$$;

(III) \[{y}’=-{{\left( \sqrt{{{x}^{3}}+2} \right)}^{\prime }}=-\frac{3{{x}^{2}}}{2\sqrt{{{x}^{3}}+2}}\le 0,\forall x\in \left( -\sqrt[3]{2};+\infty  \right)\];

(IV) $$y’={{\left( \frac{x-2}{1-x} \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{x-2}{-x+1} \right)}^{\prime }}=-\frac{1}{{{(1-x)}^{2}}}<0\text{, }\forall x\ne 1$$

Câu 16. Xét các mệnh đề sau:
(I). Hàm số \[y=-{{(x-1)}^{3}}\] nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
(II). Hàm số \[y=\ln (x-1)-\frac{x}{x-1}\] đồng biến trên tập xác định của nó.
(III). Hàm số \[y=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng? (Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. 3.                       B. 2.                       C. 1.                       D. 0.

Lời giải chi tiết

• Chọn A.

(I) \[{y}’={{\left( -{{(x-1)}^{3}} \right)}^{\prime }}=-3{{(x-1)}^{2}}\le 0,\,\forall x\in \mathbb{R}\]

(II) \[{y}’={{\left( \ln (x-1)-\frac{x}{x-1} \right)}^{\prime }}=\frac{x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0,\forall x>1\]

(III) \[{y}’=\frac{1.\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x.{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x.\left( \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \right)}{{{x}^{2}}+1}\]\[=\frac{1}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0,\forall x\in \mathbb{R}\]

Câu 17. Cho hàm số $$y=\left| x+1 \right|\left( x-2 \right)$$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? (Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $$\left( -1;\frac{1}{2} \right)$$.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $$(-\infty ;-1)$$.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $$(-\infty ;-1)$$và $$\left( \frac{1}{2};+\infty \right)$$.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $$\left( -1;\frac{1}{2} \right)$$ và đồng biến trên khoảng $$\left( \frac{1}{2};+\infty \right)$$.

Lời giải chi tiết

• Chọn B.

$$y’ = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x – 1}&{khi}&{x \ge – 1}\\{ – 2x + 1}&{khi}&{x < – 1}\end{array}} \right.$$ Ta có $${y}’=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$$

Câu 18. Cho hàm số $$y=x+3+2\sqrt{2-x}$$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? (Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( -\infty ;-2 \right)\]và đồng biến trên khoảng \[\left( -2;2 \right)\].
B. Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( -\infty ;-2 \right)\]và nghịch biến trên khoảng \[\left( -2;2 \right)\].
C. Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( -\infty ;1 \right)\] và nghịch biến trên khoảng \[\left( 1;2 \right)\].
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( -\infty ;1 \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( 1;2 \right)\].

Lời giải chi tiết

• Chọn C.

TXĐ: \[D=\left( -\infty ;2 \right]\] . Ta có $${y}’=\frac{\sqrt{2-x}-1}{\sqrt{2-x}},\forall x\in \left( -\infty ;2 \right)$$.

Giải $${y}’=0\Rightarrow \sqrt{2-x}=1\Rightarrow x=1$$; \[y’\] không xác định khi \[x=2\]

Câu 19. Cho hàm số $$y=\cos 2x+\sin 2x.\tan x,\forall x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? (Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. Hàm số luôn giảm trên $$\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$$.
B. Hàm số luôn tăng trên $$\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$$.
C. Hàm số không đổi trên $$\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$$.
D. Hàm số luôn giảm trên $$\left( -\frac{\pi }{2};0 \right)$$

Lời giải chi tiết

• Chọn C.

Xét trên khoảng $$\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$$.

Ta có: \[y=\cos 2x+\sin 2x.\tan x=\frac{\cos 2x.\cos x+\sin 2x.\sin x}{\cos x}=1\Rightarrow {y}’=0\]

Hàm số không đổi trên $$\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)$$.

Câu 20. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $$m$$ sao cho hàm số $$y=\frac{x-m+2}{x+1}$$ giảm trên các khoảng mà nó xác định ? (Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. $$m<-3$$.                       B. $$m\le -3$$.                       C. $$m\le 1$$.                       D. $$m<1$$.

Lời giải chi tiết

• Chọn D

Tập xác định: \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\]. Ta có \[{y}’=\frac{m-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\]

Để hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định \[\Leftrightarrow {y}'<0,\forall x\ne -1\Leftrightarrow m<1\]

Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $$m$$ sao cho hàm số sau luôn nghịch biến trên \[\mathbb{R}\]? (Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)
$$y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+(2m-3)x-m+2$$

A. $$-3\le m\le 1$$.                       B. $$m\le 1$$.                       C. $$-3<m<1$$.                       D. $$m\le -3;m\ge 1$$.

Lời giải chi tiết

• Chọn A

Tập xác định: \[D=\mathbb{R}\]. Ta có \[{y}’=-{{x}^{2}}-2mx+2m-3\]. Để hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\] thì

\[y’ \le 0,\,\,\forall x \in \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_{y’}} < 0\\\Delta ‘ \le 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 1 < 0\,\,\,(hn)\\{m^2} + 2m – 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow – 3 \le m \le 1\]

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $$m$$ sao cho hàm số $$y=\frac{{{x}^{2}}-(m+1)+2m-1}{x-m}$$ tăng trên từng khoảng xác định của nó? (Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. $$m>1$$.                       B. $$m\le 1$$.                       C. $$m<1$$.                       D. $$m\ge 1$$.

Lời giải chi tiết

• Chọn B.

nó \[\Leftrightarrow {y}’\ge 0,\,\,\forall x\in D\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1\ge 0,\forall x\in D\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ge 0\,(hn)\\m – 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 1\]

Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $$m$$ sao cho hàm số $$y=f(x)=x+m\cos x$$ luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\]? (Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. $$\left| m \right|\le 1$$.                       B. $$m>\frac{\sqrt{3}}{2}$$.                       C. $$\left| m \right|\ge 1$$.                       D. $$m<\frac{1}{2}$$.

Lời giải chi tiết

• Chọn A.

Tập xác định: \[D=\mathbb{R}\]. Ta có \[{y}’=1-m\sin x\].

Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\]\[\Leftrightarrow y’\ge 0,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow m\sin x\le 1,\forall x\in \mathbb{R}\]

Trường hợp 1: \[m=0\] ta có \[0\le 1,\forall x\in \mathbb{R}\]. Vậy hàm số luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\]

Trường hợp 2: \[m>0\] ta có \[\sin x\le \frac{1}{m},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{1}{m}\ge 1\Leftrightarrow m\le 1\]

Trường hợp 3: \[m<0\] ta có \[\sin x\ge \frac{1}{m},\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{1}{m}\le -1\Leftrightarrow m\ge -1\]

Vậy $$\left| m \right|\le 1$$

Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $$m$$ sao cho hàm số \[y=(m-3)x-(2m+1)\cos x\] luôn nghịch biến trên \[\mathbb{R}\]? (Trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số)

A. $$-4\le m\le \frac{2}{3}$$.                       B. \[m\ge 2\].                       C. \[\left\{ \begin{align} & m>3 \\
& m\ne 1 \\
\end{align} \right.\].                       D. \[m\le 2\].

Lời giải chi tiết

• Chọn A.

Tập xác định: \[D=\mathbb{R}\]. Ta có: \[y’=m-3+(2m+1)\sin x\]

Hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\]\[\Leftrightarrow y’\le 0,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow (2m+1)\sin x\le 3-m,\,\forall x\in \mathbb{R}\]

Trường hợp 1: \[m=-\frac{1}{2}\] ta có \[0\le \frac{7}{2}\,,\forall x\in \mathbb{R}\,\]. Vậy hàm số luôn nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].

Trường hợp 2: \[m<-\frac{1}{2}\] ta có \[\sin x\ge \frac{3-m}{2m+1},\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{3-m}{2m+1}\le -1\]

\[\Leftrightarrow 3-m\ge -2m-1\Leftrightarrow m\ge -4\]

Trường hợp 3: \[m>-\frac{1}{2}\] ta có:

\[\sin x\le \frac{3-m}{2m+1},\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{3-m}{2m+1}\ge 1\]\[\Leftrightarrow 3-m\ge 2m+1\Leftrightarrow m\le \frac{2}{3}\].  Vậy \[m\in \left[ -4;\frac{2}{3} \right]\]

 

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho hàm số $y=\frac{x-m+2}{x+1}$ giảm trên các khoảng mà nó xác định ?

1. $m<-3$. B. $m\le -3$. C. $m\le 1$.               D. $m<1$.