GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $$y=f(x)$$liên tục trên K (K có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng, …)
1. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên
Bước 1. Tính đạo hàm $${f}'(x)$$.
Bước 2. Tìm các nghiệm của $${f}'(x)$$ và các điểm $${f}'(x)$$trên K.
Bước 3. Lập bảng biến thiên của $$f(x)$$ trên K.
Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận $$\underset{K}{\mathop{\min }}\,f(x),\underset{K}{\mathop{\max }}\,f(x)$$
2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên
Trường hợp 1. Tập K là đoạn \[[a;b]\]
Bước 1. Tính đạo hàm $${f}'(x)$$.
Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm $${{x}_{i}}\in [a;b]$$ của phương trình $${f}'(x)=0$$ và tất cả các điểm $${{\alpha }_{i}}\in [a;b]$$ làm cho $${f}'(x)$$ không xác định.
Bước 3. Tính $$f(a)$$, $$f(b)$$, $$f({{x}_{i}})$$, $$f({{\alpha }_{i}})$$.
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận \[M=\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }}\,f(x)\], \[m=\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)\].
Trường hợp 2. Tập K là khoảng \[(a;b)\]
Bước 1. Tính đạo hàm $${f}'(x)$$.
Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm $${{x}_{i}}\in (a;b)$$ của phương trình $${f}'(x)=0$$ và tất cả các điểm $${{\alpha }_{i}}\in (a;b)$$ làm cho $${f}'(x)$$ không xác định.
Bước 3. Tính $$A=\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$$, $$B=\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$$, $$f({{x}_{i}})$$, $$f({{\alpha }_{i}})$$.
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận \[M=\underset{(a;b)}{\mathop{\max }}\,f(x)\], \[m=\underset{(a;b)}{\mathop{\min }}\,f(x)\].
Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y={{x}^{3}}-3x+5\] trên đoạn $$\left[ 0;2 \right]$$ là:
A. \[\underset{\left[ 2;\text{ }4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=0.\]
B. \[\underset{\left[ 2;\text{ }4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=3.\]
C. \[\underset{\left[ 2;\text{ }4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=5.\]
D. \[\underset{\left[ 2;\text{ }4 \right]}{\mathop{\min }}\,y=7.\]
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+35\] trên đoạn $$\left[ -4;4 \right]$$ là:
A. \[\underset{\left[ -4;\text{ }4 \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)=-50.\]
B. \[\underset{\left[ -4;\text{ }4 \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)=0.\]
C. \[\underset{\left[ -4;\text{ }4 \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)=-41.\]
D. \[\underset{\left[ -4;\text{ }4 \right]}{\mathop{\min }}\,f(x)=15.\]
Câu 3. (Đề thi Tốt nghiệp THPT – 2007)
Giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+16x-9\] trên đoạn $$\left[ 1;3 \right]$$là:
A. \[\underset{\left[ 1;\text{ }3 \right]}{\mathop{\max }}\,f(x)=0.\]
B. \[\underset{\left[ 1;\text{ }3 \right]}{\mathop{\max }}\,f(x)=\frac{13}{27}\text{.}\]
C. \[\underset{\left[ 1;\text{ 3} \right]}{\mathop{\max }}\,f(x)=-6.\]
D. \[\underset{\left[ 1;\text{ 3} \right]}{\mathop{\max }}\,f(x)=5.\]
Câu 4. (Đề thi Tốt nghiệp THPT – 2008)
Giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1\] trên đoạn $$\left[ 0;2 \right]$$ là:
A. \[\underset{\left[ 0;\text{ 2} \right]}{\mathop{\max }}\,f(x)=64.\]
B. \[\underset{\left[ 0;\text{ 2} \right]}{\mathop{\max }}\,f(x)=1.\]
C. \[\underset{\left[ 0;\text{ 2} \right]}{\mathop{\max }}\,f(x)=0.\]
D. \[\underset{\left[ 0;\text{ 2} \right]}{\mathop{\max }}\,f(x)=9.\]