PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU | Lớp học thêm toán | Trung tâm học toán

PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Phép dời hình là phép biến hình khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Phép dời hình F:

Nhận xét:

Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là những phép dời hình.
Phép biến hình có được bằng cách thực hiện lien tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình

2. Tính chất

Phép dời hình:

Biến bai điểm thẳng hang thành ba điểm thẳng hang và bảo toàn thứ tự giữa chúng.
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành thành góc bằng nó.
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là hai hình bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Phép biến hình nào sau đây là một phép dời hình?

A. Phép biến mọi điểm

MM $M$ thành điểm

M′{{M}^{‘}} $M^{^{'}}$ sao cho

OO $O$ là trung điểm của

MM′M{{M}^{‘}} $M M^{^{'}}$ , với O là điểm cho trước.

B. Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng d

C. Phép biến mọi điểm

MM $M$ thành điểm

OO $O$ cho trước

D. Phép biến mọi điểm

MM $M$ thành điểm

M′{{M}^{‘}} $M^{^{'}}$ là trung điểm của đoạn OM , với

OO $O$ là điểm cho trước

Giải:

Với mọi điểm

A,BA,B $A, B$ tương ứng có ảnh

A′,B′{{A}^{‘}},{{B}^{‘}} $A^{^{'}}, B^{^{'}}$ qua phép biến hình với quy tắc O là trung điểm tương ứng

⇒AB=A′B′⇒\Rightarrow AB={{A}^{‘}}{{B}^{‘}}\Rightarrow $\Rightarrow A B = A^{^{'}} B^{^{'}} \Rightarrow$ Đây là phép dời hình.

Chọn A

Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ

OxyOxy $O x y$ cho đường thẳng

dd $d$ có phương trình

3x−y−3=03x-y-3=0 $3 x - y - 3 = 0$ . Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm

I(1;2)I\left( 1;2 \right) $I (1; 2)$ và phép tịnh tiến theo vectơ

v⃗=(−2;1)\vec{v}=\left( -2;1 \right) $v = (- 2; 1)$ biến đường thẳng

dd $d$ thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

3x−y+1=0.3x-y+1=0. $3 x - y + 1 = 0 .$ B.

3x−y−8=0.3x-y-8=0. $3 x - y - 8 = 0 .$

3x−y+3=0.3x-y+3=0. $3 x - y + 3 = 0 .$ D.

3x−y+8=0.3x-y+8=0. $3 x - y + 8 = 0 .$

Giải:

Gọi

d′d’ $d^{'}$ là ảnh của

dd $d$ qua phép đối xứng tâm

N~I{{\tilde{N}}_{I}} $\tilde{N}_{I}$ , suy ra

d′d’ $d^{'}$ song song hoặc trùng với

dd $d$ nên

d′:3x−y+c=0d’:3x-y+c=0 $d^{'} : 3 x - y + c = 0$ .

Chọn

A(1;0)∈dA\left( 1;0 \right)\in d $A (1; 0) \in d$ . Ta có

Từ

IA′→=−IA→→A′(1;4)\overrightarrow{IA’}=-\overrightarrow{IA}\to A’\left( 1;4 \right) $I A^{'} = - I A \to A^{'} (1; 4)$ thay vào

d′d’ $d^{'}$ ta được

3.1−4+c=0⇔c=1→d′:3x−y+1=0.3.1-4+c=0\Leftrightarrow c=1\to d’:3x-y+1=0. $3.1 - 4 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1 \to d^{'} : 3 x - y + 1 = 0 .$

Gọi

d′′{d}” $d^{''}$ là ảnh của

d′d’ $d^{'}$ qua phép tịnh tiến

Tv→,{{T}_{\overrightarrow{v}}}, $T_{v},$ suy ra

d′′{d}” $d^{''}$ song song hoặc trùng với

d′d’ $d^{'}$ nên

d′′:3x−y+m=0{d}”:3x-y+m=0 $d^{''} : 3 x - y + m = 0$ .

Chọn

A′(1;4)∈d′A’\left( 1;4 \right)\in d’ $A^{'} (1; 4) \in d^{'}$ . Ta có

Từ

A′A′′→=v⃗→A′′(−1;5)\overrightarrow{{A}'{A}”}=\vec{v}\xrightarrow{{}}{A}”\left( -1;5 \right) $A^{'} A^{''} = v A^{''} (- 1; 5)$ thay vào

d′′{d}” $d^{''}$ ta được

3.(−1)−5+m=0⇔m=83.\left( -1 \right)-5+m=0\Leftrightarrow m=8 $3 . (- 1) - 5 + m = 0 \Leftrightarrow m = 8$ .

Vậy

d′′:3x−y+8=0{d}”:3x-y+8=0 $d^{''} : 3 x - y + 8 = 0$ .

Chọn D

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ

OxyOxy $O x y$ cho đường tròn

(C):(x−1)2+(y+2)2=4\left( C \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4 $(C) : (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ . Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục

OyOy $O y$ và phép tịnh tiến theo vectơ

v⃗=(2;3)\vec{v}=\left( 2;3 \right) $v = (2; 3)$ biến

(C)\left( C \right) $(C)$ thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

x2+y2=4.{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4. $x^{2} + y^{2} = 4 .$ B.

(x−2)2+(y−6)2=4.{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}=4. $(x - 2)^{2} + (y - 6)^{2} = 4 .$

(x−2)2+(y−3)2=4.{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4. $(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 .$ D.

(x−1)2+(y−1)2=4.{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4. $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4 .$

Giải:

Đường tròn

(C)\left( C \right) $(C)$ có tâm

I(1;−2)I\left( 1;-2 \right) $I (1; - 2)$ và bán kính

R=2R=2 $R = 2$ .

Phép dời hình biến

(C)\left( C \right) $(C)$ thành

(C′)\left( {{C}’} \right) $(C^{'})$

→(C′)\xrightarrow{{}}\left( {{C}’} \right) $(C^{'})$ có tâm

KK $K$ và bán kính

R′=R=2.R’=R=2. $R^{'} = R = 2 .$

∙\bullet $∙$

I(1;−2)→OyH(−1;−2).I\left( 1;-2 \right)\xrightarrow{{{}_{Oy}}}H\left( -1;-2 \right). $I (1; - 2)_{O y} H (- 1; - 2) .$

∙\bullet $∙$

H(−1;−2)→v⃗=(2;3)Tv→K(1;1).H\left( -1;-2 \right)\xrightarrow[\vec{v}=\left( 2;3 \right)]{{{T}_{\overrightarrow{v}}}}K\left( 1;1 \right). $H (- 1; - 2) T_{v} v = (2; 3) K (1; 1) .$

Vậy

(C′): (x−1)2+(y−1)2=4.\left( {{C}’} \right):\ \ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4. $(C^{'}) : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4 .$

Chọn D

Câu 4: Cho hình vuông

ABCDABCD $A B C D$ tâm

O.O. $O .$ Gọi

QQ $Q$ là phép quay tâm

AA $A$ biến

B~B $B$ thành

D,D, $D,$

N~\tilde{N} $\tilde{N}$ là phép đối xứng trục

AD.AD. $A D .$ Hỏi phép dời hình có được bằng các thực hiện liên tiếp phép quay

QQ $Q$ và phéo đối xứng trục

ADAD $A D$ là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng tâm

D.D. $D .$ B. Phép đối xứng trục

AC.AC. $A C .$

C. Phép đối xứng tâm

O.O. $O .$ D.Phép đối xứng trục

AB.AB. $A B .$

Giải:

Phép quay tâm

AA $A$ biến

B~B $B$ thành

DD $D$ , suy ra góc quay

α=−900.\alpha =-{{90}^{0}}. $α = - 90^{0} .$ Ta có:

Từ hình vuông

ABCDABCD $A B C D$ biến thành hình vuông

ADCBADCB $A D C B$ . Nhận thấy có hai điểm không đổi vị trí là

AA $A$ và

CC $C$ nên suy ra đây là phép đối xứng trục

ACAC $A C$

Chọn B

Câu 5: Cho hình chữ nhật

ABCDABCD $A B C D$ tâm

OO $O$ với

M, NM,\text{ }N $M, N$ lần lượt là trung điểm

ABAB $A B$ và

CD.CD. $C D .$ Hỏi phép dời hình có được bằng các thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ

AB→\overrightarrow{AB} $A B$ và phép đối xứng trục

BCBC $B C$ là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng tâm

M.M. $M .$ B. Phép đối xứng tâm

N.N. $N .$

C. Phép đối xứng tâm

O.O. $O .$ D. Phép đối xứng trục

MN.MN. $M N .$

Giải:

Ta có:

Dựa vào sơ đồ ta thấy

A, BA,\text{ }B $A, B$ hoán đổi vị trí;

CDCD $C D$ hoán đổi vị trí.

Chọn D

Câu 6: Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng cắt nhau (không vuông góc) là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục B. Phép đối xứng tâm

C. Phép tịnh tiến D. Phép quay, góc quay khác

π.\pi . $π .$

Giải:

Tâm quay là giao điểm của hai trục đối xứng. Góc quay bằng hai lần góc tạo bởi hai trục đối xứng.

Chọn D

Câu 7: Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục B. Phéo đối xứng tâm

C. Phép tịnh tiến D. Phép quay

Giải:

Tịnh tiến theo vectơ

v⃗=2OO′→\vec{v}=2\overrightarrow{OO’} $v = 2 O O^{'}$ với

OO $O$ là tâm của phép đối xứng thứ nhất,

O′O’ $O^{'}$ là tâm của phép đối xứng thứ hai.

Chọn B

C. Bài tập tự luyện

Câu 1: Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ

v⃗\vec{v} $v$ và phép đối xứng tâm

II $I$ là phép nào trong các phép sau đây?

A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm.

C. Phép đồng nhất. D. Phép tịnh tiến.

Câu 2: Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục. B. Phép đối xứng tâm.

C. Phép tịnh tiến D. Phép quay, góc quay khác

π.\pi . $π .$

Câu 3: Phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng vuông góc với nhau là phép nào trong các phép dưới đây?

A. Phép đối xứng trục B. Phép đối xứng tâm

C. Phép tịnh tiến D. Phép quay, góc quay khác

π.\pi . $π .$

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ

OxyOxy $O x y$ cho điểm

A(3;0)A\left( 3;0 \right) $A (3; 0)$ . Tìm tọa độ điểm

A′{A}’ $A^{'}$ là ảnh của điểm

AA $A$ qua phép quay tâm

O(0;0)O\left( 0;0 \right) $O (0; 0)$ góc quay

−π2.-\frac{\pi }{2}. $- 2 π .$

A′(−3;0).{A}’\left( -3;0 \right). $A^{'} (- 3; 0) .$ B.

A′(3;0).{A}’\left( 3;0 \right). $A^{'} (3; 0) .$ C.

A′(0;−3).{A}’\left( 0;-3 \right). $A^{'} (0; - 3) .$ D.

A′(−23;23).{A}’\left( -2\sqrt{3};2\sqrt{3} \right). $A^{'} (- 23; 23) .$

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ

OxyOxy $O x y$ cho phép quay tâm

OO $O$ biến điểm

A(1;0)A\left( 1;0 \right) $A (1; 0)$ thành điểm

A′(0;1).A’\left( 0;1 \right). $A^{'} (0; 1) .$ Khi đó nó biến điểm

M(1;−1)M\left( 1;-1 \right) $M (1; - 1)$ thành điểm:

M′(−1;−1).M’\left( -1;-1 \right). $M^{'} (- 1; - 1) .$ B.

M′(1;1).M’\left( 1;1 \right). $M^{'} (1; 1) .$ C.

M′(−1;1).M’\left( -1;1 \right). $M^{'} (- 1; 1) .$ D.

M′(1;0).M’\left( 1;0 \right). $M^{'} (1; 0) .$

Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy cho

v→=(2;−1)\overrightarrow{v}=\left( 2;-1 \right) $v = (2; - 1)$ . Tìm tọa độ điểm A biết ảnh của nó là điểm

A′(4;−1)A’\left( 4;-1 \right) $A^{'} (4; - 1)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ

v→\overrightarrow{v} $v$ :

A(2;0)A\left( 2;0 \right) $A (2; 0)$ B.

A(1;1)A\left( 1;1 \right) $A (1; 1)$ C.

A(2;3)A\left( 2;3 \right) $A (2; 3)$ D.

A(0;2)A\left( 0;2 \right) $A (0; 2)$

Câu 7: Cho hai đường tròn

(O;R)\left( O;R \right) $(O; R)$ và

(O;R)\left( O;R \right) $(O; R)$ (O không trùng với O’). Có bao nhiều phép vị tự biến

(O)\left( O \right) $(O)$ thành

(O)\left( O \right) $(O)$ ?

A. Không có phép vị tự nào

B. Có một phép vị tự duy nhất

C. Có hai phép vị tự

D. Có vô số phép vị tự

Câu 8: Mệnh đề nào sau đây là sai? Về phép vị tự tỉ số

kk $k$ .

A.Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy.

B.Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

C.Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

D.Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Câu 9: Trong hệ trục tọa độ

OxyOxy $O x y$ cho đường tròn

(C):(x−2)2+(y−2)2=4\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4 $(C) : (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ . Phép vị tự tâm

I(1;−1)I\left( 1;-1 \right) $I (1; - 1)$ tỉ số

k=4k=4 $k = 4$ biến

(C)\left( C \right) $(C)$ thành:

(x−5)2+(y−11)2=8{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-11 \right)}^{2}}=8 $(x - 5)^{2} + (y - 11)^{2} = 8$ B.

(x−5)2+(y−11)2=64{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-11 \right)}^{2}}=64 $(x - 5)^{2} + (y - 11)^{2} = 64$

(x+2)2+(y−4)2=16{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=16 $(x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 16$ D.

(x+5)2+(y+11)2=64{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y+11 \right)}^{2}}=64 $(x + 5)^{2} + (y + 11)^{2} = 64$

Câu 10: Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành d’?

A. Không có phép vị tự nào

B. Có một phép vị tự duy nhất

C. Có hai phép vị tự

D. Có vô số phép vị tự

Đáp án bài tập tự luyện

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B	C	B	C	B	A	B	C	C	A