XÁC ĐỊNH TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

XÁC ĐỊNH TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. Lý thuyết

Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

  Nếu D là tập đối xứng (tức là

∀x∈D⇒−x∈D\forall x\in D\Rightarrow -x\in D∀x∈D⇒−x∈D ), ta thực hiện tiếp bước 2

  Nếu D không là tập đối xứng (tức là

∃x∈D\exists x\in D∃x∈D mà 

−x∉D-x\notin D−x∉D ), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2: Xác định

f(−x)f\left( -x \right)f(−x) , khi đó:

   Nếu 

f(−x)=f(x) f\left( -x \right)=f\left( x \right)~f(−x)=f(x) kết luận hàm số là hàm chãn

   Nếu 

f(−x)=−f(x) f\left( -x \right)=-f\left( x \right)~f(−x)=−f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ

   Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cùng không lẻ

B. Bài tập minh họa

Giải:

Tập xác định

D=RD=\mathbb{R}D=R.

Với

∀x∈D\forall x\in D∀x∈D thì

−x∈D-x\in D−x∈D.

Ta có    

f(x)=2x−sin⁡3xf\left( x \right)=2x-\sin 3xf(x)=2x−sin3x.

f(−x)=2(−x)−sin⁡3(−x)=−2x+sin⁡3x=−(2x−sin⁡3x)f\left( -x \right)=2\left( -x \right)-\sin 3\left( -x \right)=-2x+\sin 3x=-\left( 2x-\sin 3x \right)f(−x)=2(−x)−sin3(−x)=−2x+sin3x=−(2x−sin3x).

⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D.

Vậy

y=2x−sin⁡3xy=2x-\sin 3xy=2x−sin3x là hàm số lẻ

Giải:

Tập xác định

D=RD=\mathbb{R}D=R.

Với

x∈Dx\in Dx∈D thì

−x∈D-x\in D−x∈D.

Ta có          

f(x)=1+2×2−cos⁡3xf\left( x \right)=1+2{{x}^{2}}-\cos 3xf(x)=1+2×2−cos3x.

f(−x)=1+2(−x)2−cos⁡3(−x)=1+2×2−cos⁡3x=f(x)f\left( -x \right)=1+2{{\left( -x \right)}^{2}}-\cos 3\left( -x \right)=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x=f\left( x \right)f(−x)=1+2(−x)2−cos3(−x)=1+2×2−cos3x=f(x).

⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D⇒f(−x)=f(x),∀x∈D.

Vậy

y=1+2×2−cos⁡3xy=1+2{{x}^{2}}-\cos 3xy=1+2×2−cos3x là hàm số chẵn.

Giải:

Ta có

y=2−sin⁡xcos⁡(5π2−2x)=2−sin⁡xsin⁡2xy=2-\sin x\cos \left( \frac{5\pi }{2}-2x \right)=2-\sin x\sin 2xy=2−sinxcos(25π​−2x)=2−sinxsin2x.

Tập xác định

D=RD=\mathbb{R}D=R.

Với

x∈Dx\in Dx∈D thì

−x∈D-x\in D−x∈D.

Ta có          

f(x)=2−sin⁡xsin⁡2xf\left( x \right)=2-\sin x\sin 2xf(x)=2−sinxsin2x.

f(−x)=2−sin⁡(−x)sin⁡(−2x)=2−sin⁡xsin⁡2xf\left( -x \right)=2-\sin \left( -x \right)\sin \left( -2x \right)=2-\sin x\sin 2xf(−x)=2−sin(−x)sin(−2x)=2−sinxsin2x.

⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D⇒f(−x)=f(x),∀x∈D.

Vậy hàm y chẵn.

Giải:

Tập xác định

D=RD=\mathbb{R}D=R.

Với

x∈Dx\in Dx∈D thì

−x∈D-x\in D−x∈D.

Ta có          

f(x)=∣x∣cos⁡2xf\left( x \right)=\left| x \right|\cos 2xf(x)=∣x∣cos2x.

f(−x)=∣−x∣cos⁡(−2x)=∣x∣cos⁡2x=f(x)f\left( -x \right)=\left| -x \right|\cos \left( -2x \right)=\left| x \right|\cos 2x=f\left( x \right)f(−x)=∣−x∣cos(−2x)=∣x∣cos2x=f(x).

⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D⇒f(−x)=f(x),∀x∈D.

Vậy y là hàm chẵn.

Giải:

Tập xác định

D=RD=\mathbb{R}D=R.

Với

x∈Dx\in Dx∈D thì

−x∈D-x\in D−x∈D.

Ta có          

f(x)=4×2−sin⁡∣3x∣f\left( x \right)=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right|f(x)=4×2−sin∣3x∣.

f(−x)=4(−x)2−sin⁡∣−3x∣=4×2−sin⁡∣3x∣=f(x)f\left( -x \right)=4{{\left( -x \right)}^{2}}-\sin \left| -3x \right|=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right|=f\left( x \right)f(−x)=4(−x)2−sin∣−3x∣=4×2−sin∣3x∣=f(x).

⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D⇒f(−x)=f(x),∀x∈D.

Vậy y là hàm chẵn.

Giải:

Tập xác định

D=R\{π2+kπ,k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}D=R\{2π​+kπ,k∈Z}.

Với

x∈Dx\in Dx∈D thì

−x∈D-x\in D−x∈D.

Ta có

f(π4)=1+2, f(−π4)=−1+2⇒ f(−π4)≠f(π4)f\left( \frac{\pi }{4} \right)=1+\sqrt{2},\text{ }f\left( -\frac{\pi }{4} \right)=-1+\sqrt{2}\Rightarrow \text{ }f\left( -\frac{\pi }{4} \right)\ne f\left( \frac{\pi }{4} \right)f(4π​)=1+2​, f(−4π​)=−1+2​⇒ f(−4π​)≠f(4π​) và

f(−π4)≠−f(π4)f\left( -\frac{\pi }{4} \right)\ne -f\left( \frac{\pi }{4} \right)f(−4π​)≠−f(4π​).

Vậy hàm y không chẵn, không lẻ.

Giải:

Tập xác định

D=R\{π2+kπ,k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}D=R\{2π​+kπ,k∈Z}.

Với

∀x∈D\forall x\in D∀x∈D thì

−x∈D-x\in D−x∈D.

Ta có          

f(x)=sin⁡xcos⁡2x+tan⁡xf\left( x \right)=\sin x{{\cos }^{2}}x+\tan xf(x)=sinxcos2x+tanx.

f(−x)=sin⁡(−x)cos⁡2(−x)+tan⁡(−x)=−sin⁡xcos⁡2x−tan⁡xf\left( -x \right)=\sin \left( -x \right){{\cos }^{2}}\left( -x \right)+\tan \left( -x \right)=-\sin x{{\cos }^{2}}x-\tan xf(−x)=sin(−x)cos2(−x)+tan(−x)=−sinxcos2x−tanx.

⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D.

          Vậy y là hàm số lẻ.

Giải:

Ta có

y=1+cos⁡xsin⁡(3π2−3x)=1−cos⁡xcos⁡3xy=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-3x \right)=1-\cos x\cos 3xy=1+cosxsin(23π​−3x)=1−cosxcos3x.

Tập xác định

D=RD=\mathbb{R}D=R.

Với

x∈Dx\in Dx∈D thì

−x∈D-x\in D−x∈D.

Ta có          

f(x)=1−cos⁡xcos⁡3xf\left( x \right)=1-\cos x\cos 3xf(x)=1−cosxcos3x.

f(−x)=1−cos⁡(−x)cos⁡(−3x)=1−cos⁡xcos⁡3x=f(x)f\left( -x \right)=1-\cos \left( -x \right)\cos \left( -3x \right)=1-\cos x\cos 3x=f\left( x \right)f(−x)=1−cos(−x)cos(−3x)=1−cosxcos3x=f(x).

⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D⇒f(−x)=f(x),∀x∈D.

Vậy y là hàm chẵn.

Giải:

Hàm số xác định

⇔cos⁡32x≠0⇔cos⁡2x≠0⇔x≠π4+kπ2,k∈Z\Leftrightarrow {{\cos }^{3}}2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}⇔cos32x≠0⇔cos2x≠0⇔x≠4π​+k2π​,k∈Z.

Tập xác định

D=R\{π4+kπ2,k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}D=R\{4π​+k2π​,k∈Z}.

Với

x∈Dx\in Dx∈D thì

−x∈D-x\in D−x∈D.

Ta có          

f(x)=∣x∣sin⁡2xcos⁡32xf\left( x \right)=\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x}f(x)=cos32x∣x∣sin2x​.

f(−x)=∣−x∣sin⁡(−2x)cos⁡3(−2x)=−∣x∣sin⁡2xcos⁡32xf\left( -x \right)=\frac{\left| -x \right|\sin \left( -2x \right)}{{{\cos }^{3}}\left( -2x \right)}=-\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x}f(−x)=cos3(−2x)∣−x∣sin(−2x)​=−cos32x∣x∣sin2x​.

⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D.

          Vậy y là hàm số lẻ.

Giải:

Biểu thức

5+cos⁡x≠0,∀x∈R5+\cos x\ne 0,\forall x\in \mathbb{R}5+cosx≠0,∀x∈R nên tập xác định của hàm số là

D=R\{π2+kπ,k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}D=R\{2π​+kπ,k∈Z}.

Với

∀x∈D\forall x\in D∀x∈D thì

−x∈D-x\in D−x∈D.

Ta có          

f(x)=2sin⁡x−4tan⁡x5+cos⁡xf\left( x \right)=\frac{2\sin x-4\tan x}{5+\cos x}f(x)=5+cosx2sinx−4tanx​.

f(−x)=2sin⁡(−x)−4tan⁡(−x)5+cos⁡(−x)=−2sin⁡x+4tan⁡x5+cos⁡xf\left( -x \right)=\frac{2\sin \left( -x \right)-4\tan \left( -x \right)}{5+\cos \left( -x \right)}=\frac{-2\sin x+4\tan x}{5+\cos x}f(−x)=5+cos(−x)2sin(−x)−4tan(−x)​=5+cosx−2sinx+4tanx​.

⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D.

          Vậy y là hàm số lẻ.

C. Bài tập rèn luyện

Xét tính chẵn lẻ của hàm số.

      1. y = xcos3x      2.

y=1+cos⁡x1−cos⁡xy=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}y=1−cosx1+cosx​       3. y = x3sin2x             4.

y=x3−sin⁡xcos⁡2xy=\frac{{{x}^{3}}-\sin x}{\cos 2x}y=cos2xx3−sinx​

      5.

y=cos⁡2xxy=\frac{\cos 2x}{x}y=xcos2x​     6. y = x – sinx            7.

y=1−cos⁡xy=\sqrt{1-\cos x}y=1−cosx​        8.

y=1+cos⁡xsin⁡(3π2−2x)y=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-2x \right)y=1+cosxsin(23π​−2x)

      9. y = cosx + sin2x   10. y = sin2x + cos2x   11. y = cot2x + 5sinx   12.

y=tan⁡(x−π3)y=\tan \left( x-\frac{\pi }{3} \right)y=tan(x−3π​)