Đề thi môn Toán vào 10 (có đáp án – Tự luận – Đề 6)

đề thi môn toán vào 10

Môn thi: Toán (Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 : ( 5 điểm)Giải các phương trình và hệ phương trình sau:  (đề thi môn toán vào 10)

a) 3x² – 5x – 8 = 0

c) x⁴ – (1-√3) x² – √3 = 0

Bài 2 : ( 1,5 điểm)Cho Parabol (P) y = x² và đường thẳng (d) y = (2m – 1)x – m + 2 (m là tham số)

a) Vẽ đồ thị hàm số P

b) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁) và B(x₂;y₂) thỏa x₁y₁ + x₂ y₂ = 0

Bài 3 : ( 1,5 điểm)Cho biểu thức:

B=  với x ≥ 0;x ≠ 4

a) Rút gọn biểu thức B;

b) Tìm giá trị của x để B > 0.

Bài 4 : ( 1,5 điểm)  (đề thi môn toán vào 10)

Một phòng họp có 360 ghế được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng nhau. Nhưng do số người đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế

Bài 5 : ( 3,5 điểm)Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt cung AB tại C. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BC, AE cắt nửa đường tròn tâm O tại F (F khác A). Đường thẳng qua điểm C và vuông góc với AF tại G cắt AB tại H.

1) Chứng minh tức giác CGOA nội tiếp. Tính số đo của góc OGH

2) Chứng minh OG là tia phân giác của góc COF

3) Chứng minh hai tam giác CGO và CFB đồng dạng.

Đáp án và Hướng dẫn giải  (đề thi môn toán vào 10)

Bài 1 :

a) 3x² – 5x – 8 = 0

Δ= -5² – 4.3.(-8) = 121 => √Δ = 11

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (1; -1)

c) x⁴ – (1 – √3) x²-√3 = 0

Đặt x² = t (t≥ 0), phương trình trở thành:

t² – (1 – √3)t – √3 = 0

Phương trình có nghiệm t = 1 và t = √3 (do phương trình có dạng a + b + c = 0)

Với t = 1 ta có: x² = 1 <=> x = ±1

Với t = √3 ta có x² = √3 <=>x = 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S= {±1; }

Bài 2 :

a) (P) y = x²

Bảng giá trị

x	-2	-1	0	1	2
y = x2	4	1	0	1	4

Đồ thị (P) là đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và nhận điểm O (0,0) là đỉnh và điểm thấp nhất.

b)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = (2m – 1)x – m + 2

<=>x² – (2m – 1)x + m – 2 = 0

δ = (2m – 1)² – 4(m – 2) = 4m² – 8m + 10 = 4(m – 1)² + 6 > 0 ∀m

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo định lí Vi-et ta có:

ta có: y₁ = (2m – 1) x₁ – m + 2

y₂ = (2m – 1) x₂ – m + 2

Khi đó:

x₁ y₁ + x₂ y₂ = x₁ [(2m – 1)x₁ – m + 2] + x₂ [(2m – 1)x₂ – m + 2]

=(2m – 1)(x₁² + x₂² ) + (2 – m)(x₁ + x₂ )

=(2m – 1)[(x₁ + x₂ )²-2x₁ x₂ ] + (2 – m)(x₁ + x₂ )

=(2m – 1)[(2m-1)² – 2(m – 2)] + (2 – m)(2m – 1)

=(2m – 1)³ – (2 – m)(2m – 1)

=(2m – 1)[(2m – 1)² – (2 – m)]

=(2m – 1)(4m² – 3m – 1)

Theo bài ra: x₁y₁ + x₂y₂ = 0

<=>(2m – 1)(4m² – 3m – 1) = 0

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là

Bài 3 :

b) A > 0 <=>  > 0 <=> 2 – √x > 0

<=> √x < 2 <=> x < 4

Kết hợp với điều kiện thì A > 0 khi 0 ≤ x < 4

Bài 4 :

Gọi số hàng ghế lúc đầu là x ( hàng) (x ∈ N,x > 0)

=> Số ghế mỗi hàng lúc đầu là  (ghế)

Số hàng ghế lúc sau là x + 1 hàng

Số ghế mỗi hàng lúc sau là  + 1 (ghế)

Theo bài ra, có 400 người đến họp nên ta có phương trình

(x + 1)( + 1) = 400

<=> x +  – 39 = 0

<=> x² – 39x + 360 = 0

Vậy lúc đầu phòng họp có 24 hàng ghế, mỗi hàng có 15 ghế

Hoặc phòng họp có 15 hàng ghế, mỗi hàng có 24 ghế

Bài 5 :

a) Xét tứ giác ACGO có:

∠CGA = 90^o (CG ⊥ AG)

∠COA = 90^o (CO ⊥ AO)

=> 2 đỉnh G và O cùng nhìn CA dưới 1 góc bằng nhau

=> Tứ giác ACGO là tứ giác nội tiếp

b) Tứ giác ACGO là tứ giác nội tiếp

=> ∠COG = ∠CAG (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CG)

Mà ∠CAG = (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn 1 cung)

=> ∠COG = 

=> OG là tia phân giác của góc ∠COF

c) Xét (O): ∠FCB = ∠FAB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung FB)

Tứ giác ACGO là tứ giác nội tiếp

=> ∠OCG = ∠FAB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung GO)

=> ∠FCB∠ = ∠OCG

Xét ΔCGO và ΔCFB có:

∠OCG = ∠FCB

∠GOC = ∠FBC (= ∠CAF )

=> ΔCGO ∼ ΔCFB (g.g)

d) Gọi D là giao điểm của CO và AE

Xét tam giác CAB có:

CO là trung tuyến

AE là trung tuyến

CO giao AE tại D

=> D là trọng tâm của tam giác CAB.

Xét tam giác AOD vuông tại O có:

Xét ΔAOD và ΔAFB có:

∠FAB là góc chung

∠AOD = ∠AFB = 90^o

=> ΔAOD ∼ ΔAFB

=> S_AFB =  S_AOD