TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ ĐÔNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN, TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Định nghĩa: Cho hàm số $$y=f(x)$$xác định trên \[K\], với \[K\] là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

• Hàm số $$y=f(x)$$đồng biến (tăng) trên \[K\] nếu $$\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K,{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)$$.
• Hàm số $$y=f(x)$$nghịch biến (giảm) trên \[K\] nếu $$\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in K,{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)$$.

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số $$y=f(x)$$có đạo hàm trên khoảng \[K\].

• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng \[K\] thì $${f}’\left( x \right)\ge 0,\forall x\in K$$.
• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng \[K\] thì $${f}’\left( x \right)\le 0,\forall x\in K$$.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số $$y=f(x)$$có đạo hàm trên khoảng \[K\].

• Nếu $${f}’\left( x \right)>0,\forall x\in K$$thì hàm số đồng biến trên khoảng \[K\].
• Nếu $${f}’\left( x \right)<0,\forall x\in K$$thì hàm số nghịch biến trên khoảng \[K\]. • Nếu $${f}’\left( x \right)=0,\forall x\in K$$thì hàm số không đổi trên khoảng \[K\]. 

Chú ý. 

Nếu \[K\] là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số $$y=f(x)$$ liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số $$y=f(x)$$liên tục trên đoạn $$\left[ a;b \right]$$và có đạo hàm $${f}’\left( x \right)>0,\forall x\in K$$trên khoảng $$\left( a;b \right)$$thì hàm số đồng biến trên đoạn $$\left[ a;b \right]$$.
Nếu $${f}’\left( x \right)\ge 0,\forall x\in K$$( hoặc $${f}’\left( x \right)\le 0,\forall x\in K$$) và $${f}’\left( x \right)=0$$chỉ tại một số điểm hữu hạn của \[K\] thì hàm số đồng biến trên khoảng \[K\] ( hoặc nghịch biến trên khoảng \[K\]).

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Xét tính đơn điệu của hàm số $$y=f(x)$$ trên tập xác định

Bước 1. Tìm tập xác định D.
Bước 2. Tính đạo hàm $${y}’={f}'(x)$$.
Bước 3. Tìm nghiệm của $${f}'(x)$$ hoặc những giá trị x làm cho $${f}'(x)$$ không xác định.
Bước 4. Lập bảng biến thiên.
Bước 5. Kết luận.

2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số $$y=f(x)$$ đồng biến, nghịch biến trên khoảng $$\left( a;\,\,b \right)$$ cho trước.

Cho hàm số \[y=f(x,m)\] có tập xác định D, khoảng \[(a;b)\subset D\]:
Hàm số nghịch biến trên \[(a;b)\]\[\Leftrightarrow y’\le 0,\forall x\in (a;b)\]
Hàm số đồng biến trên \[(a;b)\]\[\Leftrightarrow y’\ge 0,\forall x\in (a;b)\]
Chú ý: Riêng hàm số\[y=\frac{{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}}{cx+d}\] thì :
Hàm số nghịch biến trên \[(a;b)\]\[\Leftrightarrow y'<0,\forall x\in (a;b)\]  Hàm số đồng biến trên \[(a;b)\]\[\Leftrightarrow y’>0,\forall x\in (a;b)\]

Nhắc lại một số kiến thức liên quan:

Cho tam thức ..\[g(x)=a{{x}^{2}}+bx+c\,\,(a\ne 0)\].

\[g(x) \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\]                  \[g(x) > 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\]

\[g(x) \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\]                   \[g(x) < 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\]

Bước 1: Đưa bất phương trình \[{f}'(x)\ge 0\] (hoặc\[{f}'(x)\le 0\]), \[\forall x\in (a;b)\] về dạng \[g(x)\ge h(m)\] (hoặc \[g(x)\le h(m)\]), \[\forall x\in (a;b)\].
Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số \[g(x)\] trên \[(a;b)\].
Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.

3. Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình:

Đưa phương trình, hoặc bất phương trình về dạng \[f(x)=m\] hoặc \[f(x)\ge g(m)\], lập bảng biến thiên của \[f(x)\], dựa vào BBT suy ra kết luận.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHUYÊN ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Câu 1: Cho hàm số $$y = \frac{{x + 1}}{{1 – x}}$$. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $$\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $$\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$$.

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $$\left( { – \infty ;1} \right)$$ và $$\left( {1; + \infty } \right)$$.

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $$\left( { – \infty ;1} \right)$$ và $$\left( {1; + \infty } \right)$$.

Hướng dẫn

TXĐ: \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]. Ta có

                                     \[y’ = \frac{2}{{{{(1 – x)}^2}}} > 0{\rm{, }}\forall x \ne 1\]

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[( – \infty ;1)\] và  \[(1; + \infty )\]

 Chọn D.

Giải nhanh

Đối với hàm số $$y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}} \to y’ = \frac{{ad – bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}$$

Nếu ad – bc > 0 thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

Nếu ad – bc < 0 thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

ở đây ad – bc = 1 +1 = 2 >  0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  → chọn D

Câu 2: Cho hàm số $$y = – {x^3} + 3{x^2} – 3x + 2$$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $$\left( -\infty ;-1 \right)$$ và $$\left( 1;+\infty \right)$$.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $$\left( -\infty ;1 \right)$$ và nghịch biến trên khoảng $$\left( 1;+\infty \right)$$.

D. Hàm số luôn đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

Hướng dẫn

TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]. Ta có \[y’=-3{{x}^{2}}+6x-3=-3{{(x-1)}^{2}}\le 0\text{ ,  }\forall x\in \mathbb{R}\] Chọn A.

Giải nhanh

Đối với hàm bậc ba mà các em thấy hệ số a < 0 thì chỉ có hai khả năng là nghịch biến trên R (y’ = 0 vô nghiệm) hoặc nghịch ngoài khoảng nghiệm $$\left( -\infty ;a \right)$$ và $$\left( b;+\infty  \right)$$. Ngược lại

các em thấy hệ số a > 0 thì chỉ có hai khả năng là đồng biến trên R (y’ = 0 vô nghiệm)

hoặc đồng biến ngoài khoảng nghiệm $$\left( -\infty ;a \right)$$ và $$\left( b;+\infty  \right)$$.

Nhìn cái thấy ngay a = -1 < 0 nên loại ngay C, D

Còn A, B các em thử đáp án bằng cách thử y’(0) bằng máy tính casio ( tại sao thử tại vì x= 0 là sự khác biệt giữa hai đáp án)

Còn A, B các em thử đáp án bằng cách thử y’(0) bằng máy tính casio ( tại sao thử tại vì x= 0 là sự khác biệt giữa hai đáp án)

Câu 3: Cho hàm số $$y=-{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+10$$ và các khoảng sau:

(I):   $$\left( -\infty ;-\sqrt{2} \right)$$;                       (II):   $$\left( -\sqrt{2};0 \right)$$;            (III):   $$\left( 0;\sqrt{2} \right)$$;

Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?

A. Chỉ (I).               B. (I) và (II).                        C. (II) và (III).             D. (I) và (III).

Hướng dẫn

Thầy thấy bài này các em giải tự luận tìm y’ = 0 rồi xét dấu còn nhanh hơn dùng máy.

TXĐ: \[D=\mathbb{R}\]. \[y’=-4{{x}^{3}}+8x=4x(2-{{x}^{2}})\]. Giải \[y’=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & x=0 \\

 & x=\pm \sqrt{2} \\

\end{align} \right.\]

Trên các khoảng $$\left( -\infty ;-\sqrt{2} \right)$$ và $$\left( 0;\sqrt{2} \right)$$, $$y’>0$$nên hàm số đồng biến. Chọn D.

Câu 4: Cho hàm số$$y=\frac{3x-1}{-4+2x}$$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].

B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( -\infty ;\,2 \right)\]và \[\left( 2;+\infty \right)\].

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( -\infty ;\,-2 \right)\] và\[\left( -2;+\infty \right)\].

Hướng dẫn

TXĐ: \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\]. Ta có\[y’=-\frac{10}{{{(-4+2x)}^{2}}}<0,\forall x\in D\]. Chọn B.

Giải nhanh

ad – bc = -10 < 0 nên chọn ngay B

Câu 5: Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên \[\mathbb{R}\]?

  1. A. \[h(x)={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4\].                              B. \[g(x)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+10x+1\].
  2. C. \[f(x)=-\frac{4}{5}{{x}^{5}}+\frac{4}{3}{{x}^{3}}-x\].            D. \[k(x)={{x}^{3}}+10x-{{\cos }^{2}}x\].

Hướng dẫn

Ta có: \[f'(x)=-4{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-1=-{{(2{{x}^{2}}-1)}^{2}}\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\]. Chọn C.

Giải nhanh

A, B, D các em loại luôn vì hệ số a của cả ba hàm đều > 0 nên nó không thể nghịch biến trên $$\left( a;+\infty  \right)$$ nên không thể nghịch biến trên R còn lại đáp án C

Câu 6: Hỏi hàm số \[y=\frac{{{x}^{2}}-3x+5}{x+1}\] nghịch biến trên các khoảng nào ?

  1. A. $$$$(-\infty ;-4)$$$$và $$$$(2;+\infty )$$$$. B. \[\left( -4;2 \right)\].
  2. \[\left( -\infty ;-1 \right)\] và \[\left( -1;+\infty \right)\]. D. \[\left( -4;-1 \right)\] và \[\left( -1;2 \right)\].

Hướng dẫn

TXĐ: \[D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\]. \[y’=\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{{{(x+1)}^{2}}}\]. Giải \[y’=0\Rightarrow {{x}^{2}}+2x-8=0\Rightarrow \left[ \begin{align}

  & x=2 \\

 & x=-4 \\

\end{align} \right.\]

\[y’\] không xác định khi \[x=-1\]. Bảng biến thiên: