Để xem lời giải chi tiết SGK lớp 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 vui lòng truy cập website : edusmart.vn

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 80: Xét hai mệnh đề chứa biến P(n): “3ⁿ < n + 100” và Q(n): “2ⁿ > nⁿ với n ∈ N*.

a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b) Với mọi n ∈ N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Lời giải:

a) n = 1: P(n) đúng, Q(n) đúng

n = 2,3,4: P(n) đúng, Q(n) sai

n = 5: P(n) sai, Q(n) sai

b) n = 1: P(n) đúng, Q(n) đúng

n = 2,3,4: P(n) đúng, Q(n) sai

n ≥ 5: P(n) sai, Q(n) sai

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 81: Chứng minh rằng với n N^* thì

1 + 2 + 3 + … + n = (n(n+1))/2

Lời giải:

– Khi n = 1, VT = 1;

– Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là:

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 82: Cho hai số 3ⁿ và 8n với n ∈ N*.

a) So sánh 3ⁿ và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Lời giải:

a)n = 1 ⇒ 3¹ = 3 < 8 = 8.1

n = 2 ⇒ 3² = 9 < 16 = 8.2

n = 3 ⇒ 3³ = 27 > 24 = 8.3

n = 4 ⇒ 3⁴ = 81 > 32 = 8.4

n = 5 ⇒ 3⁵ = 243 > 40 = 8.5

b) Dự đoán kết quả tổng quát: 3ⁿ > 8n với mọi n ≥ 3

– n = 3, bất đẳng thức đúng

– Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là:

3^k > 8k

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

3^{(k + 1)} > 8(k + 1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

3^{(k + 1)} = 3^k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k

k ≥ 3 ⇒ 16k ≥ 16.3 = 48 > 8

Suy ra: 3^{(k + 1)} > 8k + 8 = 8(k + 1)

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n ≥ 3

Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:

Lời giải:

a.Với n = 1, ta có:

VT = 3 – 1 = 2

VP = (3 + 1)/2

Vậy VT = VP (1) đúng với n = 1

Giả thiết (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 = k(3k + 1)/2 (1a)

Ta chứng minh (1a) đúng với n = k + 1 nghĩa là chứng minh:

Vậy (2) đúng với n = 1

Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là:

(2) đúng với n = k + 1. Vậy nó đúng với mọi n ∈ N*

Vậy (3) đúng với n = 1

*giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là:

Ta phải chứng minh (3a) đúng khi n = k + 1

+ Ta cộng 2 vế của (3) cho (k + 1)²

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1. Do đó, đẳng thức đúng với mọi n ∈ N*

Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3.

b. 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

c. n³ + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

Đặt A_n = n³ + 3n² + 5n

+ Ta có: với n = 1

A₁ = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

A_k = (k³ + 3k² + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh A_k + 1 chia hết 3

Thật vậy, ta có:

A(k + 1) = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= (k³ + 3k² + 5k) + 3k² + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp A_k chia hết 3, hơn nữa 9(k + 1) chia hết 3

Nên A_n = n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

b.4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

đặt A_n = 4ⁿ + 15n – 1

với n = 1 => A₁ = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

A_k = (4^k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh: A_k+1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

A_k+1 = (4^k+1 + 15(k + 1) – 1) = 4^k.4¹ + 15k + 15 – 1

= (4^k + 15k – 1) + (3.4^k + 15) = A_k + 3(4^k + 5)

Theo giả thiết quy nạp A_k chia hết 9, hơn nữa:

3(4^k + 5) chia hết 9 ( chứng minh tương tự) ∀k≥ 1 nên A_k+1 chia hết 9

Vậy A_n = 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c.n³ + 11n chia hết cho 6.

Đặt U_n = n³ + 11n

+ Với n = 1 => U₁ = 12 chia hết 6

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

U_k = (k³ + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh: U_k+1 chia hết 6

Thật vậy ta có:

U_{k + 1} = (k + 1)³ + 11(k +1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11

= (k³ + 11k) + 3k² + 3k + 12 = U_k + 3(k² + k + 4)

+ Theo giả thiết quy nạp thì:

U_k chia hết 6, hơn nữa 3(k² + k + 4) = 3(k(k + 1)+ 4) chia hết 6 ∀k≥ 1 ( 2 số liên tiếp nhân với nhau chia hết cho 2)

Do đó: U_k+1 chia hết 6

Vậy: U_n = n³ + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*

Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a.3ⁿ > 3n + 1

b.2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Lời giải:

a.3n > 3n + 1 (1)

+ Với n = 2 thì (1) <=> 8 > 7

Luôn luôn đúng khi x = 2

+ giả thiết mệnh đề (1) đúng khi

n = k ≥ 2, nghĩa là 3^k > 3k + 1

Ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n = k + 1 nghĩa là chứng minh:

3^k+1 = 3.3^k > 3(3k + 1) (theo giả thiết)

3(3k + 1) = 9k + 3 = 3(k +1) + 6k > 3(k + 1) (vì k > 2)

Vậy 3^k+1 >3(k + 1) + 1

Mệnh đề đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ≥ 2

b. 2^k+1 > 2n + 3

+ Với n = 2, ta có: 2³ = 8 > 2.2 + 3 = 7

Vậy mệnh đề đúng khi x = 2.

+ giả thiết mệnh đề đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2^k+1 > 2k + 3 (2)

+ Ta sẽ chứng minh (1) đúng khi n = k + 1, nghĩa là chứng minh:

2^[(k+1)+1] > 2(k + 1) + 3 hay 2^k+2 > 2k + 5

Nhân hai vế của (2) cho 2, ta được:

2^k+1.2 = 2^k+1 > 2(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + (2k + 6) (3)

Mà k ≥ 2 => 2k + 6 = 2.2 + 6 = 10 > 5

(3) => 2^k+1 > 2k + 5 (2)

Mệnh đề đúng với n = k + 1 nên cũng đúng ∀ n ∈ N*.

Bài 4 (trang 83 SGK Đại số 11):

a.Tính S₁, S₂, S₃

b.Dự đoán công thức tính tổng Sⁿ và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải:

Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp

Với n = 1 thì (1) đúng

Giả sử (1) đúng với n = k, ta có:

Vậy (1) đúng với n = k + 1, do đó đúng với mọi n ∈ N*

Bài 5 (trang 83 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n(n-3)/2

Lời giải:

Số đoạn thẳng (cả cạnh và đường chéo) trong một đa giác lồi n cạnh là C_n2 đoạn thẳng. Suy ra số đường chéo của đa giác lồi có n cạnh là: