Đề thi môn Toán vào 10 (có đáp án – Tự luận – Đề 9)

đề thi môn toán vào 10

Môn thi: Toán (Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 : ( 1,5 điểm)  (đề thi môn toán vào 10)

1) Rút gọn biểu thức sau:

2) Cho biểu thức

a) Rút gọn M.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của M cũng là số nguyên.

Bài 2 : ( 1,5 điểm)

1) Tìm m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:

2x² – (3m + 2)x + 12 = 0

4x² – (9m – 2)x + 36 = 0

2) Tìm hệ số a, b của đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng trên đi qua hai điểm là

(1; -1) và (3; 5)

Bài 3 : ( 2,5 điểm)

1) Cho Phương trình 😡² + (m – 1) x + 5m – 6 = 0

a) giải phương trình khi m = – 1

b) Tìm m để 2 nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn hệ thức: 4x₁ + 3x₂ = 1

2) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 90 tấn hàng. Khi đến kho hàng thì có 2 xe bị hỏng nên để chở hết số hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định ban đầu. Hỏi số xe được điều đến chở hàng là bao nhiêu xe? Biết rằng khối lượng hàng chở ở mỗi xe là như nhau.

Bài 4 : ( 3,5 điểm)

1) Cho (O; R), dây BC cố định không đi qua tâm O, A là điểm bất kì trên cung lớn BC. Ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác HDBF, BCEF nội tiếp

b) K là điểm đối xứng của A qua O. Chứng minh HK đi qua trung điểm của BC

c) Gỉa sử ∠BAC = 60^o. Chứng minh Δ AHO cân

2) Một hình chữ nhật có chiều dài 3 cm, chiều rộng bằng 2 cm, quay hình chữ nhật này một vòng quanh chiều dài của nó được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần của hình trụ.

Bài 5 : ( 1 điểm)

1) Cho a, b là 2 số thực sao cho a³ + b³ = 2. Chứng minh:

0 < a + b ≤ 2

2) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đáp án và Hướng dẫn giải  (đề thi môn toán vào 10)

Bài 1 :

Để M nguyên thì  nguyên

<=> √x – 1 ∈ Ư (2)

<=> √x – 1 ∈ {±1; ±2}

Ta có bảng sau:

√x-1	– 2	-1	1	2
√x	-1	0	2	3
x	Không tồn tại x	0	4	9

Vậy với x = 0; 4; 9 thì M nhận giá trị nguyên.

Bài 2 :

1)

2x² – (3m + 2)x + 12 = 0

4x² – (9m – 2)x + 36 = 0

Đặt y = x²,khi đó ta có:

Giải (*):

(6 – 3m)x = -12

Phương trình (*) có nghiệm <=>6 – 3m ≠ 0 <=> m ≠ 2

Khi đó, phương trình có nghiệm:

Theo cách đặt, ta có: y = x²

=>16(m-2) = 16

<=>m = 3

Thay m= 3 vào 2 phương trình ban đầu,ta có:

Vậy khi m =3 thì hai phương trình trên có nghiệm chung và nghiệm chung là 4

2) Tìm hệ số a, b của đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng trên đi qua hai điểm là

(1; -1) và (3; 5)

Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm (1; -1) và (3; 5) nên ta có:

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 2x – 3

Bài 3 :

1) Cho Phương trình : x² + (m – 1)x + 5m – 6 = 0

a) Khi m = -1, phương trình trở thành:

x² – 2x – 11 = 0

Δ’ = 1 + 11=12 => √(Δ’) = 2√3

Phương trình có nghiệm:

x₁ = 1 + 2√3

x₂ = 1 – 2√3

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là:

S ={1 + 2√3; 1 – 2√3}

b)

x² + (m – 1)x + 5m – 6 = 0

Δ = (m – 1)² – 4(5m – 6) = m² – 22m + 25

Phương trình có 2 nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0

<=> m² – 22m + 25 ≥ 0

Khi đó theo định lí Vi-ét ta có:

Theo bài ra: 4x₁ + 3x₂ =1 <=> x₁ + 3(x₁ + x₂ ) = 1

<=> x₁ + 3(m – 1) = 1 <=> x₁= 4 – 3m

=> x₂ = 1 – m – x₁=1 – m – (4 – 3m) = 2m – 3

=> x₁x₂ = (4 – 3m)(2m – 3) = -6m² + 17m – 12

=> -6m² + 17m – 12 = 5m – 6

<=> – 6m²-12m – 6 = 0

<=>m = -1

Thay m = -1 vào biểu thức Δ = m² – 22m + 25 thấy thỏa mãn Δ ≥ 0

Vậy với m = -1 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.

2)

Gọi số lượng xe được điều đến là x (xe) (x > 0; x ∈ N)

=>Khối lượng hàng mỗi xe chở là: (tấn)

Do có 2 xe nghỉ nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,5 tấn so với dự định nên mỗi xe phải chở:

Khi đó ta có phương trình:

.(x-2)=90

=>(180 + x)(x – 2) = 180x

<=>x² – 2x – 360 = 0

Vậy số xe được điều đến là 20 xe

Bài 4 :  (đề thi môn toán vào 10)

a) Xét tứ giác BDHF có:

∠BDH = 90^o (AD là đường cao)

∠BFH = 90^o (CF là đường cao)

=>∠BDH + ∠BFH = 180^o

=> Tứ giác BDHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BCEF có:

∠BFC = 90^o (CF là đường cao)

∠BEC = 90^o (BE là đường cao)

=> 2 đỉnh E và F cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông

=> Tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp

b) Ta có:

∠KBA) = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>KB⊥AB

Mà CH⊥AB (CH là đường cao)

=> KB // CH

Tương tự:

∠KCA) = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>KC⊥AC

BH⊥AC (BH là đường cao)

=> HB // CK

Xét tứ giác BKCF có:

KB // CH

HB // CK

=> Tứ giác BKCH là hình bình hành

=> Hai đường chéo BC và KH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

=> HK đi qua trung điểm của BC

c) Gọi M là trung điểm của BC

Xét tam giác AHK có:

O là trung điểm của AK

M là trung điểm của BC

=> OM là đường trung bình của tam giác AHK

=> OM =  AH (1)

ΔBOC cân tại O có OM là trung tuyến

=> OM là tia phân giác của ∠BOC

=> ∠MOC = ∠BAC = 60^o (=  ∠BOC )

Xét tam giác MOC vuông tại M có:

OM = OC.cos⁡(MOC) = OC.cos⁡60^o=  OC =  OA (2)

Từ (1) và (2) => OA = AH => ΔOAH cân tại A

2)

Quay hình chữ nhật vòng quanh chiều dài được một hình trụ có bán kính đáy là R= 2 cm, chiều cao là h = 3 cm

Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ là

S_tp = 2πR² + 2πRh = 2π²² + 2π.2.3 = 20π (cm² )

Bài 5 :  (đề thi môn toán vào 10)

a)

Ta có: a³ + b³ > 0 => a³ – b³ => a > – b => a + b > 0 (1)

(a – b)²(a + b)=>0 =>(a² – b² )(a -b) => 0

=> a³ + b³ – ab(a + b) => 0

=> a³ + b³=> ab(a + b)

=> 3(a³ + b³ )=> 3ab(a + b)

=> 4(a³ + b³ )=> a³ + b³ + 3ab(a + b)

=> 4(a³ + b³ )=> (a + b)³

=> 8 => (a + b)³

=> a + b ≤ 2 (2)

Từ (1) và (2) => 0 < a + b ≤2

b)

Ta có:

Ta lại có:

,dấu bằng xảy ra khi y=2x

 ,dấu bằng xảy ra khi z=4x

,dấu bằng xảy ra khi z=2y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là