Đề thi môn Toán vào 10 thành phố hà nội (có đáp án – Đề 3)

đề thi môn toán vào 10

UBND Quận Hoàn Kiếm

Phòng giáo dục và đào tạo (đề thi môn toán vào 10)

Đề thi thử vào lớp 10

Môn thi: Toán (Công lập)

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức:

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 4

a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 – 2√2

b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A : B

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nếu mỗi ngày họ làm tăng thêm 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 4 ngày. Nếu mỗi ngày họ làm ít hơn 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch châm hơn thời hạn 5 ngày. Tính thời gian và số sản phẩm phải làm theo kế hoạch.

Bài 3: (2 điểm)  (đề thi môn toán vào 10)

1) Giải phương trình 2x4 + x2 – 6 = 0

2) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 2

a) Với m = -1 : vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d).

b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1 – 2x2 = 5

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm (O) với dây AB cố định không phải đường kính. Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn. M; N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K.

a) Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp

b) Chứng minh MK.MN = MI.MC

c) Chứng minh tứ giác AKI cân tại K và tứ giác AHIK là hình thoi.

Bài 5: (0,5 điểm) Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + 4 ≤ 2b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Đáp án và Hướng dẫn giải  (đề thi môn toán vào 10)

Bài 1:

a) x = 3 – 2√2 = (√2 – 1)2 => √x = √2 – 1

Khi đó:

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Áp dụng Bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương 1 + √x và Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Dấu bằng xảy ra khi:

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

⇔ 1 + √x = √3 (do 1 + √x > 0)

⇔ √x = √3 – 1 ⇔ x = 4 – 2√3

Vậy GTNN của P là 2√3 – 4 đạt được khi x = 4 – 2√3

Bài 2:

Gọi số sản phẩm cần làm theo dự định trong một ngày là x (sản phẩm/ ngày) ( x > 5)

Thời gian dự định làm là y (ngày) (y > 4)

=> Số sản phẩm cần làm là xy ( sản phẩm)

Nếu mỗi ngày họ làm tăng thêm 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 4 ngày nên ta có phương trình:

(x + 5)(y – 4) = xy ⇔ -4x + 5y = 20 (1)

Nếu mỗi ngày họ làm ít hơn 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch châm hơn thời hạn 5 ngày nên ta có phương trình:

(x – 5)(y + 5) = xy ⇔ 5x – 5y = 25 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Khi đó số sản phẩm cần làm là: x.y = 45.40 = 1800 (sản phẩm)

Vậy số sản phẩm cần làm là 1800 sản phẩm

Số ngày dự định làm là 40 ngày.

Bài 3:

1) 2x4 + x2 – 6 = 0

Đặt x2 = t ( t ≥ 0), phương trình trở thành:

2t2 + t – 6 = 0

Δ = 1-4.2.(-6) = 49

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Do t ≥ 0 nên t = Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Vậy phương trình đã cho có nghiệm Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

2) a) Với m = -1, (d): y = – x + 2

(P): y = x2

Bảng giá trị:

x -2 -1 0 1 2
y = x2 4 1 0 1 4

Đồ thị (P): y = x2 là 1 đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và nhận điểm O (0;0) làm đỉnh

y = – x + 2

Bảng giá trị:

x 0 2
y = -x + 2 2 0

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x2 = -x + 2 ⇔ x2 + x – 2 = 0

=> Phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = – 2

Khi đó tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (1; 1) và (-2; 4)

b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x2 = mx + 2 ⇔ x2 – mx – 2 = 0

Δ = m2 – 4.(-2) = m2 + 8 > 0 ∀m

=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Theo bài ra: x1 – 2x2 = 5 ⇔ x1 = 2x2 + 5

=> (2x2 + 5) x2 = -2 ⇔ 2x22 + 5x2 + 2 = 0

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài là m = -1 ; Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Bài 4:

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

a) Xét tứ giác HMBI có:

∠HMI = ∠HBI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án)

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh HI

=> Tứ giác BMHI nội tiếp

b) Xét ΔMNI và ΔMKC có:

∠KMC là góc chung

∠MNI = ∠KCM (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án)

=> ΔMNI ∼ ΔMCK => Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án => MN.MK = MC.MI

c) Xét tứ giác NKIC có:

∠KNI = ∠KCI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án)

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh KI

=> Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

=> ∠NKI + ∠NCI = 180o (1)

Xét đường tròn (O) có:

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

=> ∠ANK + ∠NAK = ∠ACM + ∠NCA = ∠NCI (2)

Xét tam giác AKN có: ∠ANK + ∠NAK + ∠NKA = 180o (3)

Từ (1), (2), (3) => ∠NKI = ∠NKA

Xét tam giác IKN và tam giác AKN có:

∠NKI = ∠NKA

KN là cạnh chung

∠KNI = ∠KNA (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

=> ΔIKN = ΔAKN

=> IK=AK =>ΔAKI cân tại K

Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Mặt khác ∠KCN = ∠ABN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O))

∠BAC = ∠BNC (2 góc nội tiếp cùng chắc cung BC của (O))

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

=> Tứ giác AHIK là hình bình hành

Mà IK = AK

=> Tứ giác AHIK là hình thoi.

Bài 5:

2b ≥ ab + 4 ≥ 4√ab ( Theo BDT Cosi)

Đề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp án

Vậy GTLN của P làĐề thi vào 10 môn Toán có đáp án | Đề thi môn Toán vào 10 có đáp ánkhi a = 1; b = 4