Bài 54 (trang 96 SGK Toán 8 Tập 1): Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trong góc đó. Gọi B là điểm đối xứng với A qua Ox, gọi C là điểm đối xứng với A qua Oy. Chứng minh rằng điểm B đối xứng với điểm C qua O.

Lời giải:

– Cách 1:

B đối xứng với A qua Ox nên Ox là đường trung trực của AB => OA = OB

C đối xứng với A qua Oy nên Oy là đường trung trực của AC =>OA = OC

Suy ra OB = OC         (1)

=> B, O, C thẳng hàng         (2)

Từ (1) và (2) suy ra B đối xứng với C qua O

– Cách 2:

A đối xứng với B qua Ox và O nằm trên Ox nên OA đối xứng với OB qua Ox suy ra OA = OB.

A đối xứng với C qua Oy và O nằm trên Oy nên OA đối xứng với OC qua Oy.

Suy ra OA = OC. Do đó OB = OC         (1)

=> B, O, C thẳng hàng         (2)

Từ (1) và (2) suy ra B đối xứng với C qua O

Bài 55 (trang 96 SGK Toán 8 Tập 1): Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt các cạnh AB và CD theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua O.

Lời giải:

Hai tam giác BOM và DON có:

Nên ΔBOM = ΔDON (g.c.g) suy ra OM = ON

O là trung điểm của MN nên M đối xứng với N qua O.

Bài 56 (trang 96 SGK Toán 8 Tập 1): Trong các hình sau, hình nào có tâm đối xứng?

a) Đoạn thẳng AB (h.83a)

b) Tam giác đều ABC (h.83b)

c) Biển cấm đi ngược chiều (h.83c)

d) Biển chỉ hướng đi vòng tránh chướng ngại vật (h.83d)

Lời giải:

– Hình 83a, c có tâm đối xứng:

Hình 83a có tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng AB, hình 83c có tâm đối xứng là tâm của đường tròn.

(Lưu ý: Các bạn nên đọc lại định nghĩa về tâm đối xứng của một hình:

Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H.

– Hình 83b): Nếu gọi O là giao điểm của 3 đường trung trực trong ΔABC (là tam giác đều) thì điểm đối xứng của 3 điểm A, B, C qua O không thuộc ΔABC => Hình này không có tâm đối xứng.

– Hình 83d): Tương tự, nếu gọi O là tâm đường tròn. Thì có vô số điểm thuộc hình dấu => sẽ không có điểm đối xứng thuộc hình dấu => này nên hình này cũng không có tâm đối xứng.

Bài 57 (trang 96 SGK Toán 8 Tập 1): Các câu sau đúng hay sai?

a) Tâm đối xứng của một đường thẳng là điểm bất kì của đường thẳng đó.

b) Trọng tâm của một tam giác là tâm đối xứng của tam giác đó.

c) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một điểm thì có chu vi bằng nhau.

Lời giải:

a) Đúng, vì nếu lấy một điểm O bất kì trên đường thẳng thì nó chia đường thẳng đó thành hai và với bất kì một điểm M, trên tia này cũng luôn có một điểm M’ đối xứng với nó qua O trên tia kia.

b) Sai, vì nếu lấy điểm đối xứng của đỉnh A của tam giác qua trọng tâm thì điểm đối xứng này không nằm trên tam giác.

c) Đúng, vì hai tam giác đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau. (Hai tam giác bằng nhau có chu vi bằng nhau.)