BẢNG NGUYÊN HÀM ĐẦY ĐỦ – CÔNG THỨC TÍNH NGUYÊN HÀM

I. NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1. Nguyên hàm – bảng nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số $$f\left( x \right)$$ xác định trên $$K$$ ($$K$$ là (Phương pháp tính nguyên hàm) khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số $$F\left( x \right)$$ được gọi là (Phương pháp tính nguyên hàm) nguyên hàm của hàm số $$f\left( x \right)$$ trên $$K$$ nếu $$F’\left( x \right)=f\left( x \right)$$ với mọi $$x\in K$$.
Định lí:
1) Nếu $$F\left( x \right)$$ là (Phương pháp tính nguyên hàm) một nguyên hàm của hàm số $$f\left( x \right)$$ trên $$K$$ thì với mỗi hằng số $$C$$, hàm số $$G\left( x \right)=F\left( x \right)+C$$ cũng là (Phương pháp tính nguyên hàm) một nguyên hàm của $$f\left( x \right)$$ trên $$K$$.

2) Nếu $$F\left( x \right)$$ là  một nguyên hàm của hàm số $$f\left( x \right)$$ trên $$K$$ thì mọi nguyên hàm của $$f\left( x \right)$$ trên $$K$$ đều có dạng $$F\left( x \right)+C$$, với $$C$$ là (Phương pháp tính nguyên hàm) một hằng số.

Do đó $$F\left( x \right)+C,C\in \mathbb{R}$$ là họ tất cả các nguyên hàm của $$f\left( x \right)$$ trên $$K$$. Ký hiệu $$\int{f\left( x \right)d\text{x}=F\left( x \right)+C}$$.

2. Tính chất của nguyên hàm – bảng nguyên hàm đầy đủ nhất

Tính chất 1: $${{\left( \int{f\left( x \right)d\text{x}} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)$$ và $$\int{f’\left( x \right)d\text{x}=f\left( x \right)}+C$$
Tính chất 2: $$\int{kf\left( x \right)d\text{x}}=k\int{f\left( x \right)d\text{x}}$$ với $$k$$ là (Phương pháp tính nguyên hàm) hằng số khác $$0$$.
Tính chất 3: $$\int{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]d\text{x}}=\int{f\left( x \right)d\text{x}}\pm \int{g\left( x \right)d\text{x}}$$

3. Sự tồn tại của nguyên hàm – bảng nguyên hàm đầy đủ nhất

Định lí: Mọi hàm số $$f\left( x \right)$$ liên tục trên $$K$$ đều có nguyên hàm trên $$K$$.

4. Bảng nguyên hàm đầy đủ nhất của một số hàm số sơ cấp

bảng nguyên hàm

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1. Phương pháp đổi biến số- phương pháp tính nguyên hàm

Định lí 1: Nếu $$\int{f\left( u \right)du=F\left( u \right)+C}$$ và $$u=u\left( x \right)$$ là (Phương pháp tính nguyên hàm) hàm số có đạo hàm liên tục thì
$$\int{f\left( u\left( x \right) \right)u’\left( x \right)d\text{x}=F\left( u\left( x \right) \right)+C}$$
Hệ quả: Nếu $$u=ax+b\left( a\ne 0 \right)$$ thì ta có$$\int{f\left( ax+b \right)d\text{x}=\frac{1}{a}F\left( ax+b \right)}+C$$

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần – phương pháp tính nguyên hàm

Định lí 2: Nếu hai hàm số $$u=u\left( x \right)$$ và $$v=v\left( x \right)$$ có đạo hàm liên tục trên $$K$$ thì
$$\int{u\left( x \right)v’\left( x \right)d\text{x}=u\left( x \right)v\left( x \right)-}\int{u’\left( x \right)v\left( x \right)d\text{x}}$$
Hay
$$\int{u\text{d}v=uv-\int{v\text{d}u}}$$

Câu 1. Nguyên hàm của hàm số $$f\left( x \right)={{x}^{3}}+3x+2$$ là hàm số nào trong các hàm số sau? ( phương pháp tính nguyên hàm)

A. $$F\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}+\frac{3{{x}^{2}}}{2}+2x+C$$.                                   

B. $$F\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{3}+3{{x}^{2}}+2x+C$$.

C. $$F\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+2x+C$$.                                

D. $$F\left( x \right)=3{{x}^{2}}+3x+C$$.

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm chọn A.

Câu 2. Hàm số $$F\left( x \right)=5{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-7x+120+C$$ là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? ( phương pháp tính nguyên hàm)

A. $$f\left( x \right)=15{{x}^{2}}+8x-7$$.                                

B. $$f\left( x \right)=5{{x}^{2}}+4x+7$$.

C. $$f\left( x \right)=\frac{5{{x}^{2}}}{4}+\frac{4{{x}^{3}}}{3}-\frac{7{{x}^{2}}}{2}$$.

D. $$f\left( x \right)=5{{x}^{2}}+4x-7$$.

Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số $$F\left( x \right)$$ ta được kết quả.

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số: \[y={{x}^{2}}-3x+\frac{1}{x}\]là 

A. $$F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+\ln \left| x \right|+C$$.

B. \[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+\ln x+C\].

C. \[F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{3}{2}{{x}^{2}}+\ln x+C\].

D. \[F\left( x \right)=2x-3-\frac{1}{{{x}^{2}}}+C\].

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm chọn A.

Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $$f\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)$$

A. $$F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{3}{2}{{x}^{2}}+2x+C$$.

B. $$F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{2}{3}{{x}^{2}}+2x+C$$.

C. $$F\left( x \right)=2x+3+C$$.

D. $$F\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{2}{3}{{x}^{2}}+2x+C$$.

Hướng dẫn giải: $$f\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)={{x}^{2}}+3x+2$$. Sử dụng bảng nguyên hàm chọn A.

Câu 5. Nguyên hàm $$F\left( x \right)$$ của hàm số $$f\left( x \right)=\frac{2}{5-2x}+\frac{2}{x}+\frac{3}{{{x}^{2}}}$$ là hàm số nào? ( phương pháp tính nguyên hàm)

A. $$F\left( x \right)=-\ln \left| 5-2x \right|+2\ln \left| x \right|-\frac{3}{x}+C$$.

B. $$F\left( x \right)=-\ln \left| 5-2x \right|+2\ln \left| x \right|+\frac{3}{x}+C$$.

C. $$F\left( x \right)=\ln \left| 5-2x \right|+2\ln \left| x \right|-\frac{3}{x}+C$$.

D. $$F\left( x \right)=-\ln \left| 5-2x \right|-2\ln \left| x \right|+\frac{3}{x}+C$$.
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm chọn A.