XÁC ĐỊNH TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. Lý thuyết

Phương pháp chung

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

  Nếu D là tập đối xứng (tức là

∀x∈D⇒−x∈D\forall x\in D\Rightarrow -x\in D ), ta thực hiện tiếp bước 2

  Nếu D không là tập đối xứng (tức là

∃x∈D\exists x\in D mà 

−x∉D-x\notin D ), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Bước 2: Xác định

f(−x)f\left( -x \right) , khi đó:

   Nếu 

f(−x)=f(x) f\left( -x \right)=f\left( x \right)~kết luận hàm số là hàm chãn

   Nếu 

f(−x)=−f(x) f\left( -x \right)=-f\left( x \right)~kết luận hàm số là hàm lẻ

   Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cùng không lẻ

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Xác định tính chẵn lẻ hàm số

y=2x−sin⁡3xy=2x-\sin 3x.

Giải:

Tập xác định

D=RD=\mathbb{R}.

Với

∀x∈D\forall x\in D thì

−x∈D-x\in D.

Ta có    

f(x)=2x−sin⁡3xf\left( x \right)=2x-\sin 3x.

f(−x)=2(−x)−sin⁡3(−x)=−2x+sin⁡3x=−(2x−sin⁡3x)f\left( -x \right)=2\left( -x \right)-\sin 3\left( -x \right)=-2x+\sin 3x=-\left( 2x-\sin 3x \right).

⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D.

Vậy

y=2x−sin⁡3xy=2x-\sin 3x là hàm số lẻ

Câu 2: Xác định tính chẵn lẻ hàm số

y=1+2×2−cos⁡3xy=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x.

Giải:

Tập xác định

D=RD=\mathbb{R}.

Với

x∈Dx\in D thì

−x∈D-x\in D.

Ta có          

f(x)=1+2×2−cos⁡3xf\left( x \right)=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x.

         

f(−x)=1+2(−x)2−cos⁡3(−x)=1+2×2−cos⁡3x=f(x)f\left( -x \right)=1+2{{\left( -x \right)}^{2}}-\cos 3\left( -x \right)=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x=f\left( x \right).

         

⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D.

Vậy

y=1+2×2−cos⁡3xy=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x là hàm số chẵn.

Câu 3: Xác định tính chẵn lẻ hàm số

y=2−sin⁡xcos⁡(5π2−2x)y=2-\sin x\cos \left( \frac{5\pi }{2}-2x \right).

Giải:

Ta có

y=2−sin⁡xcos⁡(5π2−2x)=2−sin⁡xsin⁡2xy=2-\sin x\cos \left( \frac{5\pi }{2}-2x \right)=2-\sin x\sin 2x.

Tập xác định

D=RD=\mathbb{R}.

Với

x∈Dx\in D thì

−x∈D-x\in D.

Ta có          

f(x)=2−sin⁡xsin⁡2xf\left( x \right)=2-\sin x\sin 2x.

         

f(−x)=2−sin⁡(−x)sin⁡(−2x)=2−sin⁡xsin⁡2xf\left( -x \right)=2-\sin \left( -x \right)\sin \left( -2x \right)=2-\sin x\sin 2x.

         

⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D.

Vậy hàm y chẵn.

Câu 4: Xác định tính chẵn lẻ hàm số

y=∣x∣cos⁡2xy=\left| x \right|\cos 2x.

Giải:

Tập xác định

D=RD=\mathbb{R}.

Với

x∈Dx\in D thì

−x∈D-x\in D.

Ta có          

f(x)=∣x∣cos⁡2xf\left( x \right)=\left| x \right|\cos 2x.

         

f(−x)=∣−x∣cos⁡(−2x)=∣x∣cos⁡2x=f(x)f\left( -x \right)=\left| -x \right|\cos \left( -2x \right)=\left| x \right|\cos 2x=f\left( x \right).

⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D.

Vậy y là hàm chẵn.

Câu 5: Xác định tính chẵn lẻ hàm số

y=4×2−sin⁡∣3x∣y=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right|.

Giải:

Tập xác định

D=RD=\mathbb{R}.

Với

x∈Dx\in D thì

−x∈D-x\in D.

Ta có          

f(x)=4×2−sin⁡∣3x∣f\left( x \right)=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right|.

         

f(−x)=4(−x)2−sin⁡∣−3x∣=4×2−sin⁡∣3x∣=f(x)f\left( -x \right)=4{{\left( -x \right)}^{2}}-\sin \left| -3x \right|=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right|=f\left( x \right).

         

⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D.

Vậy y là hàm chẵn.

Câu 6: Xác định tính chẵn lẻ hàm số

y=tan⁡x−2cos⁡3xy=\tan x-2\cos 3x.

Giải:

Tập xác định

D=R\{π2+kπ,k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}.

Với

x∈Dx\in D thì

−x∈D-x\in D.

Ta có

f(π4)=1+2, f(−π4)=−1+2⇒ f(−π4)≠f(π4)f\left( \frac{\pi }{4} \right)=1+\sqrt{2},\text{ }f\left( -\frac{\pi }{4} \right)=-1+\sqrt{2}\Rightarrow \text{ }f\left( -\frac{\pi }{4} \right)\ne f\left( \frac{\pi }{4} \right)

f(−π4)≠−f(π4)f\left( -\frac{\pi }{4} \right)\ne -f\left( \frac{\pi }{4} \right).

Vậy hàm y không chẵn, không lẻ.

Câu 7: Xác định tính chẵn lẻ hàm số

y=sin⁡xcos⁡2x+tan⁡xy=\sin x{{\cos }^{2}}x+\tan x.

Giải:

Tập xác định

D=R\{π2+kπ,k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}.

Với

∀x∈D\forall x\in D thì

−x∈D-x\in D.

Ta có          

f(x)=sin⁡xcos⁡2x+tan⁡xf\left( x \right)=\sin x{{\cos }^{2}}x+\tan x.

         

f(−x)=sin⁡(−x)cos⁡2(−x)+tan⁡(−x)=−sin⁡xcos⁡2x−tan⁡xf\left( -x \right)=\sin \left( -x \right){{\cos }^{2}}\left( -x \right)+\tan \left( -x \right)=-\sin x{{\cos }^{2}}x-\tan x.

         

⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D.

          Vậy y là hàm số lẻ.

Câu 8: Xác định tính chẵn lẻ hàm số

y=1+cos⁡xsin⁡(3π2−3x)y=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-3x \right).

Giải:

Ta có

y=1+cos⁡xsin⁡(3π2−3x)=1−cos⁡xcos⁡3xy=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-3x \right)=1-\cos x\cos 3x.

Tập xác định

D=RD=\mathbb{R}.

Với

x∈Dx\in D thì

−x∈D-x\in D.

Ta có          

f(x)=1−cos⁡xcos⁡3xf\left( x \right)=1-\cos x\cos 3x.

         

f(−x)=1−cos⁡(−x)cos⁡(−3x)=1−cos⁡xcos⁡3x=f(x)f\left( -x \right)=1-\cos \left( -x \right)\cos \left( -3x \right)=1-\cos x\cos 3x=f\left( x \right).

         

⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D.

Vậy y là hàm chẵn.

Câu 9: Xác định tính chẵn lẻ hàm số

y=∣x∣sin⁡2xcos⁡32xy=\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x}.

Giải:

Hàm số xác định

⇔cos⁡32x≠0⇔cos⁡2x≠0⇔x≠π4+kπ2,k∈Z\Leftrightarrow {{\cos }^{3}}2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.

Tập xác định

D=R\{π4+kπ2,k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}.

Với

x∈Dx\in D thì

−x∈D-x\in D.

Ta có          

f(x)=∣x∣sin⁡2xcos⁡32xf\left( x \right)=\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x}.

         

f(−x)=∣−x∣sin⁡(−2x)cos⁡3(−2x)=−∣x∣sin⁡2xcos⁡32xf\left( -x \right)=\frac{\left| -x \right|\sin \left( -2x \right)}{{{\cos }^{3}}\left( -2x \right)}=-\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x}.

         

⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D.

          Vậy y là hàm số lẻ.

Câu 10: Xác định tính chẵn lẻ hàm số

y=2sin⁡x−4tan⁡x5+cos⁡xy=\frac{2\sin x-4\tan x}{5+\cos x}.

Giải:

Biểu thức

5+cos⁡x≠0,∀x∈R5+\cos x\ne 0,\forall x\in \mathbb{R} nên tập xác định của hàm số là

D=R\{π2+kπ,k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}.

Với

∀x∈D\forall x\in D thì

−x∈D-x\in D.

Ta có          

f(x)=2sin⁡x−4tan⁡x5+cos⁡xf\left( x \right)=\frac{2\sin x-4\tan x}{5+\cos x}.

         

f(−x)=2sin⁡(−x)−4tan⁡(−x)5+cos⁡(−x)=−2sin⁡x+4tan⁡x5+cos⁡xf\left( -x \right)=\frac{2\sin \left( -x \right)-4\tan \left( -x \right)}{5+\cos \left( -x \right)}=\frac{-2\sin x+4\tan x}{5+\cos x}.

         

⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D.

          Vậy y là hàm số lẻ.

C. Bài tập rèn luyện

Xét tính chẵn lẻ của hàm số.

      1. y = xcos3x      2.

y=1+cos⁡x1−cos⁡xy=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}       3. y = x3sin2x             4.

y=x3−sin⁡xcos⁡2xy=\frac{{{x}^{3}}-\sin x}{\cos 2x}

      5.

y=cos⁡2xxy=\frac{\cos 2x}{x}     6. y = x – sinx            7.

y=1−cos⁡xy=\sqrt{1-\cos x}        8.

y=1+cos⁡xsin⁡(3π2−2x)y=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-2x \right)

      9. y = cosx + sin2x   10. y = sin2x + cos2x   11. y = cot2x + 5sinx   12.

y=tan⁡(x−π3)y=\tan \left( x-\frac{\pi }{3} \right)