- Đại số 11 Chương 1 bài mở đầu – Hàm số lượng giác đầy đủ
- Đại Số 11 Chương 1- Dạng 6: 44 bài tập phương trình lượng giác đưa về tích – Nâng Cao
- Đại số 11 chương 2 bài 7 : 104 bài tập trắc nghiệm tính xác suất – quy tắc tính xác suất
- Đại Số 11 chương 2 bài 6: xác định hệ số trong khai triển nhị thức Newton
- Hình Học 11 – Chương II bài 1: Đại cương về Hình Học Không Gian
- Hình Học 11 – Chương 3 bài 1: Quan Hệ Song Song
- XÁC ĐỊNH TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
- PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU
- ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
- Đại Số 11 chương 1: Bảng Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ
- Chương 1 Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản- Gải chi tiết
- Đại số 11 Chương 1 Dạng 2: Phương trình lượng giác quy về bậc nhất
- Đại số 11 chương 1 Dạng 3: 82 bài tập phương trình lượng giác quy về bậc hai – Nâng cao
- Đại số 11 chương 1 Dạng 4: 21 bài tập phương trình đẳng cấp với Sin và Cosin
- Đại số 11 Chương 1 Dạng 5: 11 bài tập phương trình đối xứng với Sin và Cosin
- Đại số 11 chương 2 bài 1: 30 Bài tập trắc nghiệm quy tắc đếm cơ bản + lý thuyết toàn chương 2
- Đại Số 11 chương 2 bài 2: 44 bài toán đếm, số cách chọn vị trí, phân công công việc
- Đại số 11 Chương 2 Bài 3: 11 Bài tập đếm liên quan đến hình học
- Đại số 11 chương 2 bài 4: 55 bài tập trắc nghiệm phương trình hệ phương trình tổ hợp chỉnh hợp
- Đại số 11 chương 2 bài 5: 41 bài tập trắc nghiệm tổng hợp quy tắc đếm
- Đại Số 11 – Chương 2 Dạng 6: 15 bài tập trắc nghiệm phép thử, không gian mẫu và biến cố
- Đại Số 11 – Chương 2 Dạng 3: 25 bài tập trắc nghiệm các quy tắc tính xác suất có giải chi tiết
- Đại Số 11 – Chương 2 Dạng 2: 170 câu trắc nghiệm xác suất của biến cố có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 3 Dạng 2: Điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân
- Đại Số 11 – Chương 3 Dạng 2: Điều kiện để dãy số lập thành cấp số Cộng
- Đại Số 11 – Chương 3 Dạng 1: 25 câu trắc nghiệm số hạng của dãy số có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 3 Dạng 1: 40 câu trắc nghiệm cấp số nhân và các yếu tố của cấp số nhân có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 3 Dạng 1: 45 câu trắc nghiệm cấp số Cộng và các yếu tố của cấp số Cộng có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 3 Dạng 1: 50 câu trắc nghiệm dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 3: 80 câu trắc nghiệm chương 3 có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 4 Dạng 1: 20 câu trắc nghiệm tính giới hạn bằng định nghĩa có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 4 Dạng 1: 30 câu trắc nghiệm tính giới hạn bằng định nghĩa hoặc tại một điểm có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 4 Dạng 2: 35 câu trắc nghiệm tính giới hạn vô định 0/0 có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 4 Dạng 3: 40 câu trắc nghiệm tính giới hạn vô định ∞/∞ có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 4 Dạng 2: 85 câu trắc nghiệm tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản
- Đại Số 11 – Chương 4: Ôn tập chương 4 có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 5 Dạng 3: 25 câu trắc nghiệm đạo hàm và các bài toán giải PT, BPT có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 5: 25 câu trắc nghiệm định nghĩa đạo hàm có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 5 Dạng 3: 25 câu trắc nghiệm định tiếp tuyến đi qua một điểm có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 5 Dạng 1: 25 câu trắc nghiệm tính đạo hàm tại một điểm có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 5: 30 câu trắc nghiệm đạo hàm cấp cao của hàm số có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 5 Dạng 1: 30 câu trắc nghiệm các quy tắc tính đạo hàm có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 5: Vi phân của hàm số có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 5 Dạng 1: 60 câu trắc nghiệm tiếp tuyến tại một điểm thuộc hàm số có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 5 Dạng 2: 85 câu trắc nghiệm tính đạo hàm bằng công thức có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 5 Dạng 2: 110 câu trắc nghiệm tính đạo hàm bằng công thức có lời giải
- Đại Số 11 – Chương 5: Ý nghĩa của đạo hàm có lời giải
- Hình Học 11 – Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
- Hình Học 11 – Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
- Hình Học 11 – Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
- Hình Học 11 – Dạng 3: Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy trong không gian
- Hình Học 11 – Dạng 4: Xác định thiết diện của mặt phẳng với hình chóp
- Hình Học 11 – Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
- Hình Học 11 – Đường thẳng song song với mặt phẳng
- Hình Học 11 – Dạng 3: Thiết diện và các dạng toán liên quan
- Hình Học 11 – Dạng 3: Thiết diện và các dạng toán liên quan
- Hình Học 11 – Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với đường thẳng
- Hình Học 11 – Dạng 2: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Hình Học 11 – Bài tập tổng hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Hình Học 11 – Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song
- Hình Học 11 – Dạng 2: Tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng bằng quan hệ song song
- Dạng 3: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng quy
- Hình Học 11 – Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Hình Học 11 – Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng
- Hình Học 11 – Hai đường thẳng vuông góc
- Hình Học 11 – Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song
- Hình Học 11 – Dạng 2: Xác định thiết diện của (α) với hình chóp khi biết (α) và mặt phẳng (β) cho trước
- Hình Học 11 – Hai mặt phẳng song song
- Hình Học 11 – Dạng 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Hình Học 11 – Hai mặt phẳng vuông góc
- Hình Học 11 – Dạng 1: Góc giữa hai mặt phẳng
- Hình Học 11 – Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích hình chiếu, chu vi và diện tích đa giác
- Hình Học 11 – Dạng 4: Xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng
- Hình Học 11 – Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d
- Hình Học 11 – Dạng 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng
- Hình Học 11 – Dạng 5:Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
- Hình Học 11 – Dạng 3:Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
- Hình Học 11 – Dạng 4: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
- Hình Học 11 – Khoảng cách
- Hình Học 11 – Vecto trong không gian- Đầy đủ chi tiết nhất
- Phương pháp giải phương trình lượng giác
- Đề Kiểm Tra Giải Tam Giác Đề 2
- Chuyên đề hàm số lượng giác và các bài toán liên quan
- Chuyên Đề Tổ Hợp Xác Suất Quy Tắc Đếm Phần 3
- Chuyên Đề Tổ Hợp Xác Suất Quy Tắc Đếm Phần 2
- Chuyên Đề Tổ Hợp Xác Suất Quy Tắc Đếm Phần 1
- Chuyên Đề Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
- Chuyên Đề Dãy Số Chương Ba Đại Số 11
- Chuyên Đề Cấp Số Nhân Chương 3 Đại Số 11
- Chuyên Đề Cấp Số Cộng Chương 3 Đại Số 11
- Phương Pháp Tính Giới Hạn Của Hàm Số
- Phương Pháp Tính Giới Hạn Của Dãy Số
- Chuyên Đề Hàm Số Liên Tục
- Viết Phương Trình Tiếp Tuyến
- Quy Tắc Tính Đạo Hàm Công Thức Đạo Hàm
- Phương Pháp Tính Đạo Hàm Cấp Cao
- Định Nghĩa Và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm
- Chuyên Đề Vi Phân Chương 5 Đại Số 11
- Chuyên Đề Đạo Hàm Của Các Hàm Số Lượng Giác
- Chuyên Đề Các Phép Biến Hình Chương 1 Hình Học 11
- Chuyên Đề Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Song Song
- Chuyên Đề Đại Cương Về Đường Thẳng và Mặt Phẳng
- Chuyên Đề Đại Cương Về Đường Thẳng Và Mặt Phẳng
- Phương Pháp Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
- Chuyên Đề Vecto Trong Không Gian
- Chuyên Đề Quan Hệ Vuông Góc
- Chuyên Đề Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
- Chuyên Đề Hai Đường Thẳng Vuông Góc
- Chuyên Đề Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng
- ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT ÔN TẬP CHƯƠNG 2 TRƯỜNG THPT LÂM THAO
- ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT ÔN TẬP CHƯƠNG 2 TRƯỜNG THPT CÂY DƯƠNG
- ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT ÔN TẬP CHƯƠNG 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
- ĐỀ ÔN TÂP CHƯƠNG 1 – HÌNH HỌC LỚP 11
XÁC ĐỊNH TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. Lý thuyết
Phương pháp chung
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:
Nếu D là tập đối xứng (tức là
∀x∈D⇒−x∈D\forall x\in D\Rightarrow -x\in D
), ta thực hiện tiếp bước 2Nếu D không là tập đối xứng (tức là
∃x∈D\exists x\in D
mà−x∉D-x\notin D
), ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.Bước 2: Xác định
f(−x)f\left( -x \right)
, khi đó:Nếu
f(−x)=f(x) f\left( -x \right)=f\left( x \right)~
kết luận hàm số là hàm chãnNếu
f(−x)=−f(x) f\left( -x \right)=-f\left( x \right)~
kết luận hàm số là hàm lẻNgoài ra kết luận hàm số không chẵn cùng không lẻ
B. Bài tập minh họa
Câu 1: Xác định tính chẵn lẻ hàm số
y=2x−sin3xy=2x-\sin 3x . |
Giải:
Tập xác định
D=RD=\mathbb{R}
.Với
∀x∈D\forall x\in D
thì−x∈D-x\in D
.Ta có
f(x)=2x−sin3xf\left( x \right)=2x-\sin 3x
.f(−x)=2(−x)−sin3(−x)=−2x+sin3x=−(2x−sin3x)f\left( -x \right)=2\left( -x \right)-\sin 3\left( -x \right)=-2x+\sin 3x=-\left( 2x-\sin 3x \right)
.⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D
.Vậy
y=2x−sin3xy=2x-\sin 3x
là hàm số lẻCâu 2: Xác định tính chẵn lẻ hàm số
y=1+2×2−cos3xy=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x . |
Giải:
Tập xác định
D=RD=\mathbb{R}
.Với
x∈Dx\in D
thì−x∈D-x\in D
.Ta có
f(x)=1+2×2−cos3xf\left( x \right)=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x
.
f(−x)=1+2(−x)2−cos3(−x)=1+2×2−cos3x=f(x)f\left( -x \right)=1+2{{\left( -x \right)}^{2}}-\cos 3\left( -x \right)=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x=f\left( x \right)
.
⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D
.Vậy
y=1+2×2−cos3xy=1+2{{x}^{2}}-\cos 3x
là hàm số chẵn.Câu 3: Xác định tính chẵn lẻ hàm số
y=2−sinxcos(5π2−2x)y=2-\sin x\cos \left( \frac{5\pi }{2}-2x \right) . |
Giải:
Ta có
y=2−sinxcos(5π2−2x)=2−sinxsin2xy=2-\sin x\cos \left( \frac{5\pi }{2}-2x \right)=2-\sin x\sin 2x
.Tập xác định
D=RD=\mathbb{R}
.Với
x∈Dx\in D
thì−x∈D-x\in D
.Ta có
f(x)=2−sinxsin2xf\left( x \right)=2-\sin x\sin 2x
.
f(−x)=2−sin(−x)sin(−2x)=2−sinxsin2xf\left( -x \right)=2-\sin \left( -x \right)\sin \left( -2x \right)=2-\sin x\sin 2x
.
⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D
.Vậy hàm y chẵn.
Câu 4: Xác định tính chẵn lẻ hàm số
y=∣x∣cos2xy=\left| x \right|\cos 2x . |
Giải:
Tập xác định
D=RD=\mathbb{R}
.Với
x∈Dx\in D
thì−x∈D-x\in D
.Ta có
f(x)=∣x∣cos2xf\left( x \right)=\left| x \right|\cos 2x
.
f(−x)=∣−x∣cos(−2x)=∣x∣cos2x=f(x)f\left( -x \right)=\left| -x \right|\cos \left( -2x \right)=\left| x \right|\cos 2x=f\left( x \right)
.⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D
.Vậy y là hàm chẵn.
Câu 5: Xác định tính chẵn lẻ hàm số
y=4×2−sin∣3x∣y=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right| . |
Giải:
Tập xác định
D=RD=\mathbb{R}
.Với
x∈Dx\in D
thì−x∈D-x\in D
.Ta có
f(x)=4×2−sin∣3x∣f\left( x \right)=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right|
.
f(−x)=4(−x)2−sin∣−3x∣=4×2−sin∣3x∣=f(x)f\left( -x \right)=4{{\left( -x \right)}^{2}}-\sin \left| -3x \right|=4{{x}^{2}}-\sin \left| 3x \right|=f\left( x \right)
.
⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D
.Vậy y là hàm chẵn.
Câu 6: Xác định tính chẵn lẻ hàm số
y=tanx−2cos3xy=\tan x-2\cos 3x . |
Giải:
Tập xác định
D=R\{π2+kπ,k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}
.Với
x∈Dx\in D
thì−x∈D-x\in D
.Ta có
f(π4)=1+2, f(−π4)=−1+2⇒ f(−π4)≠f(π4)f\left( \frac{\pi }{4} \right)=1+\sqrt{2},\text{ }f\left( -\frac{\pi }{4} \right)=-1+\sqrt{2}\Rightarrow \text{ }f\left( -\frac{\pi }{4} \right)\ne f\left( \frac{\pi }{4} \right)
vàf(−π4)≠−f(π4)f\left( -\frac{\pi }{4} \right)\ne -f\left( \frac{\pi }{4} \right)
.Vậy hàm y không chẵn, không lẻ.
Câu 7: Xác định tính chẵn lẻ hàm số
y=sinxcos2x+tanxy=\sin x{{\cos }^{2}}x+\tan x . |
Giải:
Tập xác định
D=R\{π2+kπ,k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}
.Với
∀x∈D\forall x\in D
thì−x∈D-x\in D
.Ta có
f(x)=sinxcos2x+tanxf\left( x \right)=\sin x{{\cos }^{2}}x+\tan x
.
f(−x)=sin(−x)cos2(−x)+tan(−x)=−sinxcos2x−tanxf\left( -x \right)=\sin \left( -x \right){{\cos }^{2}}\left( -x \right)+\tan \left( -x \right)=-\sin x{{\cos }^{2}}x-\tan x
.
⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D
.Vậy y là hàm số lẻ.
Câu 8: Xác định tính chẵn lẻ hàm số
y=1+cosxsin(3π2−3x)y=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-3x \right) . |
Giải:
Ta có
y=1+cosxsin(3π2−3x)=1−cosxcos3xy=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-3x \right)=1-\cos x\cos 3x
.Tập xác định
D=RD=\mathbb{R}
.Với
x∈Dx\in D
thì−x∈D-x\in D
.Ta có
f(x)=1−cosxcos3xf\left( x \right)=1-\cos x\cos 3x
.
f(−x)=1−cos(−x)cos(−3x)=1−cosxcos3x=f(x)f\left( -x \right)=1-\cos \left( -x \right)\cos \left( -3x \right)=1-\cos x\cos 3x=f\left( x \right)
.
⇒f(−x)=f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right),\forall x\in D
.Vậy y là hàm chẵn.
Câu 9: Xác định tính chẵn lẻ hàm số
y=∣x∣sin2xcos32xy=\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x} . |
Giải:
Hàm số xác định
⇔cos32x≠0⇔cos2x≠0⇔x≠π4+kπ2,k∈Z\Leftrightarrow {{\cos }^{3}}2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}
.Tập xác định
D=R\{π4+kπ2,k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}
.Với
x∈Dx\in D
thì−x∈D-x\in D
.Ta có
f(x)=∣x∣sin2xcos32xf\left( x \right)=\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x}
.
f(−x)=∣−x∣sin(−2x)cos3(−2x)=−∣x∣sin2xcos32xf\left( -x \right)=\frac{\left| -x \right|\sin \left( -2x \right)}{{{\cos }^{3}}\left( -2x \right)}=-\frac{\left| x \right|\sin 2x}{{{\cos }^{3}}2x}
.
⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D
.Vậy y là hàm số lẻ.
Câu 10: Xác định tính chẵn lẻ hàm số
y=2sinx−4tanx5+cosxy=\frac{2\sin x-4\tan x}{5+\cos x} . |
Giải:
Biểu thức
5+cosx≠0,∀x∈R5+\cos x\ne 0,\forall x\in \mathbb{R}
nên tập xác định của hàm số làD=R\{π2+kπ,k∈Z}D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}
.Với
∀x∈D\forall x\in D
thì−x∈D-x\in D
.Ta có
f(x)=2sinx−4tanx5+cosxf\left( x \right)=\frac{2\sin x-4\tan x}{5+\cos x}
.
f(−x)=2sin(−x)−4tan(−x)5+cos(−x)=−2sinx+4tanx5+cosxf\left( -x \right)=\frac{2\sin \left( -x \right)-4\tan \left( -x \right)}{5+\cos \left( -x \right)}=\frac{-2\sin x+4\tan x}{5+\cos x}
.
⇒f(−x)=−f(x),∀x∈D\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right),\forall x\in D
.Vậy y là hàm số lẻ.
C. Bài tập rèn luyện
Xét tính chẵn lẻ của hàm số.
1. y = xcos3x 2.
y=1+cosx1−cosxy=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}
3. y = x3sin2x 4.y=x3−sinxcos2xy=\frac{{{x}^{3}}-\sin x}{\cos 2x}
5.
y=cos2xxy=\frac{\cos 2x}{x}
6. y = x – sinx 7.y=1−cosxy=\sqrt{1-\cos x}
8.y=1+cosxsin(3π2−2x)y=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-2x \right)
9. y = cosx + sin2x 10. y = sin2x + cos2x 11. y = cot2x + 5sinx 12.
y=tan(x−π3)y=\tan \left( x-\frac{\pi }{3} \right)